Sea \( T \) el tanque obtenido por el giro de \( y=1 \ln x \quad 1 \leq x \leq e \) alrededor del eje \( Y \). Si \( y \) están en pies y el tanque \( T \) esta lleno de agua. El trabajo requerido para bombear toda el agua hasta la parte superior del tanque es

Para determinar el trabajo necesario para bombear toda el agua hasta la parte superior del tanque \( T \) obtenido por la rotación de la curva \( y = \ln x \) alrededor del eje \( Y \) en el intervalo \( 1 \leq x \leq e \), seguiremos los siguientes pasos: ### 1. **Descripción del Tanque** Primero, observamos que la curva \( y = \ln x \) rota alrededor del eje \( Y \), creando un tanque de forma cilíndrica invertida. Los límites de \( x \) de \( 1 \) a \( e \) corresponden a \( y \) desde \( 0 \) hasta \( 1 \), ya que: \[ y = \ln x \quad \Rightarrow \quad \text{Cuando } x = 1, \ y = 0; \quad \text{cuando } x = e, \ y = 1. \] ### 2. **Elemento de Trabajo** Consideremos una lámina horizontal de agua a una altura \( y \) con un espesor diferencial \( dy \). - **Radio de la lámina**: Al rotar la curva, el radio de esta lámina en función de \( y \) es: \[ x = e^y \] - **Área de la lámina (A)**: \[ A = \pi x^2 = \pi (e^y)^2 = \pi e^{2y} \] - **Volumen de la lámina (dV)**: \[ dV = A \cdot dy = \pi e^{2y} dy \] - **Peso de la lámina (dF)**: Si \( \gamma \) representa el peso específico del agua (por ejemplo, \( \gamma = 62.4 \ \text{lb/ft}^3 \)), entonces: \[ dF = \gamma dV = \gamma \pi e^{2y} dy \] - **Distancia a elevar (d)**: La distancia que debe elevarse el agua desde la lámina hasta la parte superior del tanque es: \[ d = 1 - y \] ### 3. **Trabajo Total (W)** El trabajo realizado para elevar esta lámina es el producto del peso de la lámina y la distancia que se eleva. Integrando esto desde \( y = 0 \) hasta \( y = 1 \): \[ W = \int_{0}^{1} dF \cdot d = \gamma \pi \int_{0}^{1} e^{2y} (1 - y) dy \] ### 4. **Resolución de la Integral** Descomponemos la integral: \[ \int_{0}^{1} e^{2y} (1 - y) dy = \int_{0}^{1} e^{2y} dy - \int_{0}^{1} y e^{2y} dy \] Calculamos cada integral por separado: 1. **Primera Integral**: \[ \int e^{2y} dy = \frac{1}{2} e^{2y} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e^{2} - 1) \] 2. **Segunda Integral** (por partes): Sea \( u = y \) y \( dv = e^{2y} dy \). Entonces, \( du = dy \) y \( v = \frac{1}{2} e^{2y} \). Aplicando integración por partes: \[ \int y e^{2y} dy = y \cdot \frac{1}{2} e^{2y} - \int \frac{1}{2} e^{2y} dy = \frac{y}{2} e^{2y} - \frac{1}{4} e^{2y} \Big|_{0}^{1} \] Evaluando en los límites: \[ \left( \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{4} e^{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2} + 1}{4} \] Entonces: \[ \int_{0}^{1} e^{2y} (1 - y) dy = \frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{2} + 1}{4} = \frac{2(e^{2} - 1) - (e^{2} + 1)}{4} = \frac{e^{2} - 3}{4} \] ### 5. **Trabajo Final** Sustituyendo de vuelta en la expresión del trabajo: \[ W = \gamma \pi \cdot \frac{e^{2} - 3}{4} = \frac{\gamma \pi (e^{2} - 3)}{4} \] ### **Conclusión** El trabajo requerido para bombear toda el agua hasta la parte superior del tanque es: \[ W = \frac{\gamma \pi (e^{2} - 3)}{4} \ \text{pies-libra} \] Donde \( \gamma \) es el peso específico del agua.