1. Soit \( f \) la fonction définie sur \( ] 0,5 ;+\infty\left[\operatorname{par} f(x)=\sqrt{2-\frac{1}{x}}\right. \) Calcule \( \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \). 2. Soit \( g \) la fonction définie sur \( ] 0 ;+\infty\left[\operatorname{par} g(t)=1-2 \cos t \times e^{-0,5 t}\right. \) a. Trouve un encadrement de \( g(t) \). b. Déduis-en la limite de \( g(t) \) quand \( t \) tend vers \( +\infty \).

Pour calculer \( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \), commençons par simplifier l'expression de \( f(x) \). Lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), le terme \( \frac{1}{x} \) tend vers 0. Ainsi, \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x}} = \sqrt{2 - 0} = \sqrt{2}. \] Pour la fonction \( g(t) = 1 - 2 \cos(t) e^{-0,5t} \), nous devons encadrer \( g(t) \) en regardant les valeurs que peut prendre \( \cos(t) \). Étant donné que \( -1 \leq \cos(t) \leq 1 \), nous avons : \[ -2 \leq -2 \cos(t) \leq 2. \] En multipliant chaque terme par \( e^{-0,5t} \) (qui est positif), nous avons : \[ -2e^{-0,5t} \leq -2\cos(t)e^{-0,5t} \leq 2e^{-0,5t}. \] En ajoutant 1 dans l'inégalité, nous obtenons : \[ 1 - 2e^{-0,5t} \leq g(t) \leq 1 + 2e^{-0,5t}. \] Quand \( t \) tend vers \( +\infty \), \( e^{-0,5t} \) tend vers 0. D'où : \[ \lim_{t \rightarrow +\infty} g(t) = 1. \]