1. Soit \( f \) la fonction définie sur \( ] 0,5 ;+\infty\left[\operatorname{par} f(x)=\sqrt{2-\frac{1}{x}}\right. \) Calcule \( \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \). 2. Soit \( g \) la fonction définie sur \( ] 0 ;+\infty\left[\operatorname{par} g(t)=1-2 \cos t \times e^{-0,5 t}\right. \) a. Trouve un encadrement de \( g(t) \). b. Déduis-en la limite de \( g(t) \) quand \( t \) tend vers \( +\infty \).

**1. Calcul de la limite de la fonction \( f \)** La fonction \( f \) est définie par : \[ f(x) = \sqrt{2 - \frac{1}{x}} \] Pour calculer la limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \), observons le comportement de l'expression à l'intérieur de la racine : \[ \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac{1}{x}\right) = 2 - \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 2 - 0 = 2 \] Ainsi, \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \sqrt{2} \] **2. Étude de la fonction \( g(t) \)** La fonction \( g \) est définie par : \[ g(t) = 1 - 2 \cos t \cdot e^{-0,5 t} \] **a. Trouver un encadrement de \( g(t) \)** Sachant que \( \cos t \) est minorée par \(-1\) et majorée par \(1\), on a : \[ -1 \leq \cos t \leq 1 \] En multipliant par \(-2 e^{-0,5 t}\) (qui est toujours négatif puisque \( e^{-0,5 t} > 0 \)), les inégalités s'inversent : \[ 2 e^{-0,5 t} \geq -2 \cos t \cdot e^{-0,5 t} \geq -2 e^{-0,5 t} \] En ajoutant \(1\) à chaque membre, on obtient l'encadrement de \( g(t) \) : \[ 1 - 2 e^{-0,5 t} \leq g(t) \leq 1 + 2 e^{-0,5 t} \] **b. Détermination de la limite de \( g(t) \) quand \( t \) tend vers \( +\infty \)** Étudions les limites des bornes obtenues : \[ \lim_{t \to +\infty} \left(1 - 2 e^{-0,5 t}\right) = 1 - 0 = 1 \] \[ \lim_{t \to +\infty} \left(1 + 2 e^{-0,5 t}\right) = 1 + 0 = 1 \] Par le **Théorème des gendarmes**, on en déduit que : \[ \lim_{t \to +\infty} g(t) = 1 \]