F) $$ x y=28-4 x $$ $$ 1=y+x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el sistema de ecuaciones:

$$
\begin{cases}
xy = 28 - 4x \quad \text{(1)} \
1 = y + x \quad \text{(2)}
\end{cases}
$$

**Paso 1: Despejar una variable en una de las ecuaciones**

De la ecuación (2):

$$
y = 1 - x
$$

**Paso 2: Sustituir la expresión de $$ y $$ en la otra ecuación**

Sustituyendo $$ y = 1 - x $$ en la ecuación (1):

$$
x(1 - x) = 28 - 4x
$$

**Paso 3: Expandir y simplificar la ecuación resultante**

$$
x - x^2 = 28 - 4x
$$

Llevamos todos los términos al mismo lado de la ecuación:

$$
-x^2 + x + 4x - 28 = 0 \
-x^2 + 5x - 28 = 0
$$

Multiplicamos toda la ecuación por -1 para simplificar:

$$
x^2 - 5x + 28 = 0
$$

**Paso 4: Determinar el discriminante para encontrar las soluciones de $$ x $$**

El discriminante $$ D $$ de una ecuación cuadrática $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ se calcula como:

$$
D = b^2 - 4ac
$$

Aplicando los valores:

$$
D = (-5)^2 - 4(1)(28) = 25 - 112 = -87
$$

Como el discriminante es negativo ($$ D < 0 $$), no existen soluciones reales para $$ x $$. Sin embargo, podemos expresar las soluciones en el conjunto de los números complejos.

**Paso 5: Encontrar las soluciones complejas de $$ x $$**

$$
x = \frac{5 \pm \sqrt{-87}}{2} = \frac{5 \pm i\sqrt{87}}{2}
$$

Simplificando la raíz cuadrada:

$$
\sqrt{87} = \sqrt{3 \times 29} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{29}
$$

Así, las soluciones para $$ x $$ son:

$$
x = \frac{5 \pm i\sqrt{3}\sqrt{29}}{2}
$$

**Paso 6: Encontrar las soluciones correspondientes para $$ y $$**

Recordando que $$ y = 1 - x $$:

$$
y = 1 - \left( \frac{5 \pm i\sqrt{87}}{2} \right) = \frac{2 - 5 \mp i\sqrt{87}}{2} = \frac{-3 \mp i\sqrt{87}}{2}
$$

**Conclusión:**

El sistema de ecuaciones no tiene soluciones reales. Las soluciones complejas son:

$$
\begin{cases}
x = \dfrac{5 \pm i\sqrt{87}}{2} \
y = \dfrac{-3 \mp i\sqrt{87}}{2}
\end{cases}
$$
No hay soluciones reales para $$ x $$ y $$ y $$ en el sistema de ecuaciones. Las soluciones son números complejos: $$ x = \frac{5 \pm i\sqrt{87}}{2}, \quad y = \frac{-3 \mp i\sqrt{87}}{2} $$

F)

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