Answer
Da bismo konstruirali trokut \( P R S \) s opsegom 10 cm i stranicama u odnosu \( 3:4:3 \), prvo izračunajmo duljine stranica:
- Duljine stranica su 3 cm, 4 cm i 3 cm.
- Nacrtajmo stranicu 3 cm kao \( P R \).
- Kružnice s centrima u \( P \) i \( R \) i radijusima 4 cm i 3 cm se preseče u točki \( S \).
- Trokut \( P R S \) je sada konstruiran.
Za trokut \( A B C \) s poznatim težišnicama \( t_a \) i \( t_b \) te duljinom stranice \( c \), koristimo formule za težišnice i rješavamo sustav jednadžbi za stranice \( a \) i \( b \). Nakon toga, nacrtamo stranice \( a \) i \( b \) iz točke \( c \) i dobivamo trokut \( A B C \).
Solution
Da bismo konstruirali trokut \( P R S \) s opsegom od 10 cm i stranicama koje se odnose kao \( 3: 4: 3 \), prvo ćemo izračunati duljine stranica.
### Koraci za konstrukciju trokuta \( P R S \):
1. **Izračunaj duljine stranica**:
- Neka su duljine stranica \( a, b, c \) u odnosu \( 3: 4: 3 \).
- Ukupni omjer stranica je \( 3 + 4 + 3 = 10 \) dijelova.
- Duljina svake jedinice je \( \frac{10 \text{ cm}}{10} = 1 \text{ cm} \).
- Stoga su duljine stranica:
- \( a = 3 \times 1 \text{ cm} = 3 \text{ cm} \)
- \( b = 4 \times 1 \text{ cm} = 4 \text{ cm} \)
- \( c = 3 \times 1 \text{ cm} = 3 \text{ cm} \)
2. **Konstrukcija trokuta**:
- Nacrtajte dužinu \( a = 3 \text{ cm} \) kao stranicu \( P R \).
- Zatim, pomoću kružnice, nacrtajte kružnicu s centrom u točki \( P \) i radijusom \( 4 \text{ cm} \) (stranica \( b \)).
- Također, nacrtajte kružnicu s centrom u točki \( R \) i radijusom \( 3 \text{ cm} \) (stranica \( c \)).
- Točke presjeka ovih kružnica označite kao \( S \).
- Trokut \( P R S \) je sada konstruiran.
### Konstrukcija trokuta \( A B C \):
Za konstrukciju trokuta \( A B C \) s poznatim duljinama težišnica \( t_a \) i \( t_b \) te duljinom stranice \( c \), koristit ćemo formulu za težišnice.
1. **Težišnice**:
- Težišnica \( t_a \) se odnosi na stranicu \( a \), a težišnica \( t_b \) se odnosi na stranicu \( b \).
- Duljina težišnice može se izračunati pomoću formule:
\[
t_a = \frac{1}{3} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
\]
\[
t_b = \frac{1}{3} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}
\]
2. **Izračunaj stranice**:
- Ako imamo duljinu stranice \( c \) i težišnice \( t_a \) i \( t_b \), možemo postaviti sustav jednadžbi i riješiti ga za \( a \) i \( b \).
3. **Konstrukcija trokuta**:
- Nakon što izračunamo duljine stranica \( a \) i \( b \), možemo nacrtati stranicu \( c \).
- Zatim, pomoću kružnica, nacrtajte kružnice s radijusima \( a \) i \( b \) iz krajeva stranice \( c \) kako bismo dobili točke \( A \) i \( B \).
- Trokut \( A B C \) je sada konstruiran.
Ako imate specifične vrijednosti za \( t_a \), \( t_b \) i \( c \), slobodno ih navedite kako bismo mogli izračunati duljine stranica \( a \) i \( b \).
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Explain
Simplify this solution
