4.87 Kari planter et tre som er 50 cm høyt. Etter \( t \) år er høyden \( h(t) \) \( m \) av treet gitt ved \( \quad h(t)=-0,0025 t^{3}+0,075 t^{2}+0,50, D_{h}=[0,15] \) a. Når vokser treet raskest? b. Hvor høyt er treet da? c. Hvor raskt vokser treet da?

La oss analysere treets vekst basert på funksjonen \( h(t) = -0,0025 t^{3} + 0,075 t^{2} + 0,50 \), der \( t \) er tiden i år. ### a. Når vokser treet raskest? For å finne når treet vokser raskest, må vi finne tidspunktet hvor veksthastigheten \( h'(t) \) er maksimal. 1. **Finn den deriverte \( h'(t) \):** \[ h'(t) = \frac{d}{dt} \left( -0,0025 t^{3} + 0,075 t^{2} + 0,50 \right) = -0,0075 t^{2} + 0,15 t \] 2. **Finn den andre deriverte \( h''(t) \) for å bestemme maksimumspunktet:** \[ h''(t) = \frac{d}{dt} \left( -0,0075 t^{2} + 0,15 t \right) = -0,015 t + 0,15 \] 3. **Sett \( h''(t) = 0 \) for å finne kritisk punkt:** \[ -0,015 t + 0,15 = 0 \implies t = \frac{0,15}{0,015} = 10 \text{ år} \] **Svar:** Treet vokser raskest etter **10 år**. ### b. Hvor høyt er treet da? Beregn \( h(10) \): \[ h(10) = -0,0025 (10)^3 + 0,075 (10)^2 + 0,50 = -0,0025 \times 1000 + 0,075 \times 100 + 0,50 = -2,5 + 7,5 + 0,5 = 5,5 \text{ meter} \] **Svar:** Treet er **5,5 meter** høyt etter 10 år. ### c. Hvor raskt vokser treet da? Beregn \( h'(10) \): \[ h'(10) = -0,0075 (10)^2 + 0,15 \times 10 = -0,0075 \times 100 + 1,5 = -0,75 + 1,5 = 0,75 \text{ meter per år} \] **Svar:** Veksthastigheten er **0,75 meter per år** etter 10 år.