Question
Esercizio 2. Si consideri il campo scalare
- Il campo
è continuo in
?
- Calcolare
.
- Il campo
è differenziabile in
?
Ask by Coles Guerrero. in Italy
Jan 22,2025
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
Il campo
è continuo in
, il gradiente in quel punto è
, e
è differenziabile in
.
Solution
Certamente! Analizziamo ciascuno dei tre punti dell’esercizio.
1. Continuità del campo
in
Per verificare la continuità di
in
, dobbiamo calcolare il limite di
quando
tende a
e confrontarlo con il valore di
.
Calcolo del limite:
Espressiamo
in coordinate polari, dove
e
. Allora abbiamo:
Per
, possiamo approssimare
. Pertanto:
Conclusione:
Poiché il limite di
tende a 0, che è esattamente il valore di
, il campo
è continuo in
.
2. Calcolo di
Il gradiente di
in
è dato da:
Calcoliamo ciascuna derivata parziale separatamente.
Derivata parziale rispetto ad
:
Calcoliamo
:
Pertanto:
Derivata parziale rispetto ad
:
Calcoliamo
:
Pertanto:
Conclusione:
Il gradiente in
è:
3. Differenziabilità del campo
in
Per determinare se
è differenziabile in
, dobbiamo verificare se:
Dato che
e
, il limite si riduce a:
Usiamo nuovamente le coordinate polari. Abbiamo già trovato che:
Dividendo per
:
Per
, approssimiamo
, quindi:
Conclusione:
Poiché il limite tende a 0, il campo
è differenziabile in
.
Riepilogo
- Continuità:
è continuo in . - Gradiente:
. - Differenziabilità:
è differenziabile in .
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
Like
error msg


Mind Expander
Per rispondere alle domande sul campo scalare
definito sopra, iniziamo analizzando la continuità.
-
Per verificare la continuità di
in , dobbiamo calcolare il limite di mentre si avvicina a . Applichiamo il limite: Utilizzando il fatto che, otteniamo: In coordinate polari, ponendo e , vediamo che il limite tende a quando si avvicina a . Quindi, è continuo in . -
Per calcolare
, calcoliamo le derivate parziali di in . Dobbiamo calcolare:quindi:Analogamente per la derivata parziale rispetto a :Dunque . -
Infine, per verificare se
è differenziabile in , calcoliamo il limite:Dalla forma di e dal fatto che , questo diventa:Già verificato che questo limite tende a 0 quando . Quindi, è differenziabile in .
In sintesi, il campo
è continuo,
e
è differenziabile in
.