COGNOME $$ \qquad $$ NOME Esercizio 4 Sia $$ \mathbb{C}=\{z=x+i y \mid x, y \in \mathbb{R}\} $$ il campo dei numeri complessi. a) Si descriva geometricamente il sottoinsieme $$ S $$ di tutti i numeri complessi $$ z $$ tali che $$ \frac{z-1}{z-2} $$ è un numero reale. b) Si descriva geometricamente il sottoinsieme $$ S^{\prime} $$ di tutti i numeri complessi $$ z $$ tali che $$ \frac{z-1}{z-2} $$ è un numero immaginario puro. Si ricorda che un numero complesso si dice immaginario puro se è della forma $$ z=i b $$, con $$ b \in \mathbb{R} $$.

Question

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**Parte a)**

Vogliamo determinare geometricamente il sottoinsieme $$ S $$ dei numeri complessi $$ z = x + i y $$ tali che $$ \frac{z - 1}{z - 2} $$ è un numero reale.

Calcoliamo l'espressione $$ \frac{z - 1}{z - 2} $$:

$$
\frac{z - 1}{z - 2} = \frac{(x - 1) + i y}{(x - 2) + i y}
$$

Perché questo quoziente sia reale, la parte immaginaria deve essere nulla. Esprimiamo il quoziente nella forma $$ \frac{a + i b}{c + i d} $$ e imponiamo che la parte immaginaria sia zero:

$$
\frac{(x - 1) + i y}{(x - 2) + i y} = \frac{(x - 1)(x - 2) + y^2 + i [y(x - 2) - y(x - 1)]}{(x - 2)^2 + y^2}
$$

La parte immaginaria è:

$$
y(x - 2) - y(x - 1) = y(-1) = -y
$$

Imponiamo che questa parte sia zero:

$$
-y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0
$$

Questo implica che $$ z $$ deve appartenere all'asse reale. Quindi, geometricamente, il sottoinsieme $$ S $$ è l'asse reale nel piano complesso.

**Conclusione Parte a):**

Il sottoinsieme $$ S $$ è l'asse reale del piano complesso, ovvero tutti i numeri complessi $$ z = x + i y $$ con $$ y = 0 $$.

---

**Parte b)**

Ora determiniamo geometricamente il sottoinsieme $$ S' $$ dei numeri complessi $$ z = x + i y $$ tali che $$ \frac{z - 1}{z - 2} $$ è un numero immaginario puro, cioè della forma $$ i b $$ con $$ b \in \mathbb{R} $$.

Poniamo:

$$
\frac{z - 1}{z - 2} = i b
$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per $$ z - 2 $$:

$$
z - 1 = i b (z - 2)
$$

Espandiamo:

$$
(x - 1) + i y = i b (x + i y) - 2 i b
$$

Separiamo in parti reale e immaginaria:

$$
\begin{cases}
x - 1 = -b y \
y = b x - 2 b
\end{cases}
$$

Dalla prima equazione, esprimiamo $$ b $$:

$$
b = \frac{1 - x}{y}
$$

Sostituiamo nella seconda equazione:

$$
y = \left( \frac{1 - x}{y} \right) x - 2 \left( \frac{1 - x}{y} \right)
$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per $$ y $$:

$$
y^2 = (1 - x) x - 2 (1 - x)
$$

Riorganizziamo:

$$
y^2 = x - x^2 - 2 + 2x \
y^2 = -x^2 + 3x - 2 \
x^2 - 3x + y^2 + 2 = 0
$$

Completiamo il quadrato per $$ x $$:

$$
(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + y^2 = \frac{1}{4}
$$

$$
\left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + y^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2
$$

Questa è l'equazione di una circonferenza con centro in $$ \left( \frac{3}{2},\ 0 \right) $$ e raggio $$ \frac{1}{2} $$.

**Conclusione Parte b):**

Il sottoinsieme $$ S' $$ è una circonferenza di raggio $$ \frac{1}{2} $$ centrata nel punto $$ \left( \frac{3}{2},\ 0 \right) $$ nel piano complesso.
**Parte a)** Il sottoinsieme $$ S $$ è l'asse reale del piano complesso, ovvero tutti i numeri complessi $$ z = x + i y $$ con $$ y = 0 $$. **Parte b)** Il sottoinsieme $$ S' $$ è una circonferenza di raggio $$ \frac{1}{2} $$ centrata nel punto $$ \left( \frac{3}{2},\ 0 \right) $$ nel piano complesso.

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