Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(10|-10| 0) \) von der Ebene \( \mathrm{E}: 4 x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}=8 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat.

Um den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(10, -10, 0) \) von der Ebene \( \mathrm{E}: 4 x_{1} - 4 x_{2} - 2 x_{3} = 8 \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene. Die allgemeine Formel für den Abstand \( d \) eines Punktes \( (x_0, y_0, z_0) \) von der Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \) lautet: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Zuerst bringen wir die Gleichung der Ebene in die Form \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ 4x_1 - 4x_2 - 2x_3 - 8 = 0 \] Hier sind die Koeffizienten: - \( A = 4 \) - \( B = -4 \) - \( C = -2 \) - \( D = -8 \) Der Punkt \( \mathrm{P} \) hat die Koordinaten \( (x_0, y_0, z_0) = (10, -10, 0) \). Jetzt setzen wir die Werte in die Abstandsgleichung ein: \[ d = \frac{|4 \cdot 10 - 4 \cdot (-10) - 2 \cdot 0 - 8|}{\sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-2)^2}} \] Berechnen wir die einzelnen Teile: 1. Zähler: \[ 4 \cdot 10 = 40 \] \[ -4 \cdot (-10) = 40 \] \[ -2 \cdot 0 = 0 \] \[ 40 + 40 - 8 = 72 \] Also ist der Zähler: \[ |72| = 72 \] 2. Nenner: \[ \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6 \] Jetzt setzen wir die Werte in die Abstandsgleichung ein: \[ d = \frac{72}{6} = 12 \] Der Abstand des Punktes \( \mathrm{P} \) von der Ebene \( \mathrm{E} \) beträgt also \( 12 \). Um einen weiteren Punkt \( \mathrm{Q} \) anzugeben, der den gleichen Abstand von der Ebene hat, können wir den Punkt \( \mathrm{P} \) um den Abstand \( d \) entlang der Normalen der Ebene verschieben. Die Normalenvektor der Ebene ist \( \mathbf{n} = (4, -4, -2) \). Wir normieren den Normalenvektor: \[ \mathbf{n}_{\text{norm}} = \left( \frac{4}{6}, \frac{-4}{6}, \frac{-2}{6} \right) = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) \] Nun verschieben wir den Punkt \( \mathrm{P} \) um \( 12 \) Einheiten in Richtung des Normalenvektors: \[ \mathrm{Q} = \mathrm{P} + 12 \cdot \mathbf{n}_{\text{norm}} = (10, -10, 0) + 12 \cdot \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) \] Berechnen wir die Koordinaten von \( \mathrm{Q} \): \[ \mathrm{Q} = \left( 10 + 12 \cdot \frac{2}{3}, -10 + 12 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right), 0 + 12 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \right) \] \[ \mathrm{Q} = \left( 10 + 8, -10 - 8, 0 - 4 \right) = (18, -18, -4) \] Der Punkt \( \mathrm{Q}(18, -18, -4) \) hat den gleichen Abstand von der Ebene \( \mathrm{E} \) wie der Punkt \( \mathrm{P} \). Zusammenfassend: - Der Abstand des Punktes \( \mathrm{P} \) von der Ebene \( \mathrm{E} \) beträgt \( 12 \). - Ein weiterer Punkt \( \mathrm{Q} \), der den gleichen Abstand hat, ist \( \mathrm{Q}(18, -18, -4) \).