Considera l'equazione \( x^{2}-(k-3) x-4=0 \). Determina per quali valori di \( k \) : a. ammette soluzioni reali; b. ammette soluzioni reali, opposte tra loro; c. ammette soluzioni reali tali che la somma dei loro quadrati è 17 ; d. ammette soluzioni reali, tali che la somma dei loro reciproci è -6 .

Certamente! Analizziamo ciascuna parte del problema: L'equazione data è \( x^{2} - (k - 3)x - 4 = 0 \). ### a. **Ammette soluzioni reali** Per determinare se l'equazione ammette soluzioni reali, calcoliamo il discriminante \( \Delta \): \[ \Delta = b^{2} - 4ac = (k - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = (k - 3)^{2} + 16 \] Dato che \( (k - 3)^{2} \geq 0 \) per ogni valore reale di \( k \), il discriminante \( \Delta \) è sempre maggiore di zero: \[ \Delta = (k - 3)^{2} + 16 > 0 \quad \forall k \in \mathbb{R} \] **Risposta:** Per ogni valore reale di \( k \), l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte. ### b. **Ammette soluzioni reali, opposte tra loro** Supponiamo che le soluzioni siano \( \alpha \) e \( -\alpha \). Le somme e i prodotti delle radici soddisfano: \[ \alpha + (-\alpha) = 0 = k - 3 \quad \Rightarrow \quad k = 3 \] \[ \alpha \cdot (-\alpha) = -\alpha^{2} = -4 \quad \Rightarrow \quad \alpha^{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad \alpha = \pm 2 \] **Risposta:** L'equazione ammette soluzioni reali opposte se e solo se \( k = 3 \). ### c. **Ammette soluzioni reali tali che la somma dei loro quadrati è 17** Sia \( \alpha \) e \( \beta \) le soluzioni. Abbiamo: \[ \alpha + \beta = k - 3 \] \[ \alpha \beta = -4 \] \[ \alpha^{2} + \beta^{2} = 17 \] Usiamo l'identità \( \alpha^{2} + \beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha \beta \): \[ (k - 3)^{2} - 2(-4) = 17 \quad \Rightarrow \quad (k - 3)^{2} + 8 = 17 \] \[ (k - 3)^{2} = 9 \quad \Rightarrow \quad k - 3 = \pm 3 \] \[ k = 6 \quad \text{o} \quad k = 0 \] **Risposta:** L'equazione ammette soluzioni reali tali che la somma dei loro quadrati è 17 se \( k = 0 \) o \( k = 6 \). ### d. **Ammette soluzioni reali, tali che la somma dei loro reciproci è -6** La somma dei reciproci delle soluzioni è: \[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{k - 3}{-4} \] Imponiamo che questa somma sia uguale a -6: \[ \frac{k - 3}{-4} = -6 \quad \Rightarrow \quad \frac{k - 3}{4} = 6 \quad \Rightarrow \quad k - 3 = 24 \quad \Rightarrow \quad k = 27 \] **Risposta:** L'equazione ammette soluzioni reali tali che la somma dei loro reciproci è -6 se \( k = 27 \).