Question
5. Halla en la recta numérica las coordenadas de tres
puntos \( M, N y P \) tales que
a. \( M N+N P=M P \).
b. \( M N+N P>M P \).
c. \( M N+N P
Ask by Lang Lyons. in Colombia
Feb 03,2025
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Feb 03,2025
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Answer
Para resolver el problema, se deben determinar las coordenadas de los puntos \( M \), \( N \) y \( P \) en una recta numérica que satisfagan las siguientes condiciones:
a. \( MN + NP = MP \): Los puntos \( M \), \( N \) y \( P \) están en línea, con \( N \) entre \( M \) y \( P \).
**Ejemplo:**
- \( M = 0 \)
- \( N = 2 \)
- \( P = 5 \)
b. \( MN + NP > MP \): El punto \( N \) no está entre \( M \) y \( P \), y la suma de las distancias \( MN \) y \( NP \) es mayor que \( MP \).
**Ejemplo:**
- \( M = 0 \)
- \( N = 6 \)
- \( P = 5 \)
c. \( MN + NP < MP \): **No existe** solución en una recta numérica, ya que la suma de las distancias \( MN \) y \( NP \) siempre es mayor o igual a \( MP \) (de acuerdo con la desigualdad triangular).
**Resumen:**
- **a.** \( M = 0 \), \( N = 2 \), \( P = 5 \)
- **b.** \( M = 0 \), \( N = 6 \), \( P = 5 \)
- **c.** No hay solución en una recta numérica.
Solution
Para resolver este problema, consideremos una recta numérica y determinemos las coordenadas de los puntos \( M \), \( N \) y \( P \) que satisfacen las condiciones dadas.
### a. \( MN + NP = MP \)
Esta condición se cumple cuando el punto \( N \) está **entre** los puntos \( M \) y \( P \), de manera que la distancia total desde \( M \) hasta \( P \) es igual a la suma de las distancias \( MN \) y \( NP \).
**Ejemplo:**
- Supongamos que colocamos:
- \( M \) en \( 0 \)
- \( N \) en \( 2 \)
- \( P \) en \( 5 \)
**Cálculos:**
- \( MN = 2 - 0 = 2 \)
- \( NP = 5 - 2 = 3 \)
- \( MP = 5 - 0 = 5 \)
Verificamos que:
\[ MN + NP = 2 + 3 = 5 = MP \]
### b. \( MN + NP > MP \)
Esta condición se da cuando el punto \( N \) **no está** entre \( M \) y \( P \). Es decir, \( N \) está afuera del intervalo definido por \( M \) y \( P \), lo que hace que la suma de las distancias \( MN \) y \( NP \) sea mayor que la distancia directa \( MP \).
**Ejemplo:**
- Supongamos que colocamos:
- \( M \) en \( 0 \)
- \( N \) en \( 6 \)
- \( P \) en \( 5 \)
**Cálculos:**
- \( MN = 6 - 0 = 6 \)
- \( NP = 6 - 5 = 1 \) (tomando el valor absoluto, \( NP = 1 \))
- \( MP = 5 - 0 = 5 \)
Verificamos que:
\[ MN + NP = 6 + 1 = 7 > 5 = MP \]
### c. \( MN + NP < MP \)
En el contexto de la recta numérica y las distancias absolutas, esta condición **no es posible**. Esto se debe a la **desigualdad triangular**, que establece que para cualquier triángulo (o en este caso, para tres puntos en línea), la suma de las longitudes de dos lados siempre es mayor o igual a la longitud del tercer lado. Es decir:
\[ MN + NP \geq MP \]
Por lo tanto, no existen coordenadas de \( M \), \( N \) y \( P \) en una recta numérica que cumplan con \( MN + NP < MP \).
### Resumen
- **a.** \( MN + NP = MP \): \( M = 0 \), \( N = 2 \), \( P = 5 \)
- **b.** \( MN + NP > MP \): \( M = 0 \), \( N = 6 \), \( P = 5 \)
- **c.** \( MN + NP < MP \): **No existe solución** en una recta numérica.
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Simplify this solution The Deep Dive
Imagina que la recta numérica es como una cuerda estirada en la que puedes colocar puntos. Para el primer caso, puedes elegir \( M \) en 1, \( N \) en 2 y \( P \) en 3. Así, la distancia \( MN = 1 \), \( NP = 1 \) y \( MP = 2 \), cumpliendo la ecuación \( MN + NP = MP \). En el segundo caso, prueba con \( M = 1 \), \( N = 2 \) y \( P = 4 \). Aquí, \( MN = 1 \), \( NP = 2 \) y \( MP = 3 \), lo que hace que \( MN + NP = 3 \) sea mayor que \( MP = 3 \). Por último, para el tercer caso, coloca \( M = 1 \), \( N = 3 \) y \( P = 5 \); así, \( MN = 2 \), \( NP = 2 \) y \( MP = 4 \), donde \( MN + NP = 4 \) es menor que \( MP = 4 \). ¡Diviértete jugando con los números en la recta!
