Algébre Linéaire 2 2024-2025 Ens. : M. Borello et V. Fratianni Université Paris 8 Contrôle final NOM Prénom : $$ \qquad $$ Numéro d'étudiant : $$ \qquad $$ La qualité de la rédaction sera prise en compte. Exercice 1. Soit $$ \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} $$ la base canonique de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ et soit $$ f: \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ l'endomorphisme de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ tel que, en base canonique, $$ f\left(\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \ x_{3} & x_{4} \end{array}\right]\right)=\left(\left[\begin{array}{cc} x_{1}+2 x_{3} & 2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}-2 x_{4} \ -x_{3} & -2 x_{3}+x_{4} \end{array}\right]\right) $$ (a) Montrer que $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0 \ 2 & -1 & 4 & -2 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right) $$ où $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) $$ est la matrice associée à $$ f $$ dans la base canonique. (b) Déterminer le polynôme caractéristique $$ \chi_{f}(x) $$. (c) Déterminer les valeurs propres de $$ f $$, leurs multiplicités algébriques et montrer que l'endomorphisme $$ f $$ est diagonalisable. (d) Déterminer une base $$ \mathcal{B}^{\prime} $$ de $$ ^{\operatorname{Mat}} \mathbf{2}_{2}(\mathbb{R}) $$ formée de vecteurs propres de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$, la matrice de changement de base $$ P:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) $$ et la matrice diagonale $$ D:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, B^{\prime}}(f) $$ telles que $$ \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}^{\prime}}(f)=\left(\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right)\right)^{-1} \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) $$ Autrement dit, $$ D=P^{-1} A P $$ où $$ A=\mu_{B, B}(f) $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre cet exercice d'algèbre linéaire, nous allons procéder étape par étape.

### (a) Montrer que $$\mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)$$ est la matrice donnée

Nous devons montrer que la matrice associée à l'endomorphisme $$ f $$ dans la base canonique $$\mathcal{B}$$ est 
$$
\mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 \
2 & -1 & 4 & -2 \
0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & -2 & 1
\end{pmatrix}.
$$

Pour cela, nous allons appliquer $$ f $$ à chaque vecteur de la base $$\mathcal{B}$$ et exprimer le résultat en termes de la base $$\mathcal{B}$$.

1. **Calcul de $$ f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) $$**:
   $$
   f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 0 \end{pmatrix}.
   $$

2. **Calcul de $$ f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) $$**:
   $$
   f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 1 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}.
   $$

3. **Calcul de $$ f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) $$**:
   $$
   f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \ -1 & -2 \cdot 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \ -1 & -2 \end{pmatrix}.
   $$

4. **Calcul de $$ f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) $$**:
   $$
   f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \ -0 & -2 \cdot 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}.
   $$

En exprimant ces résultats en termes de la base $$\mathcal{B}$$, nous obtenons les colonnes de la matrice associée $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) $$:
- La première colonne correspond à $$ \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} $$.
- La deuxième colonne correspond à $$ \begin{pmatrix} 0 \ -1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} $$.
- La troisième colonne correspond à $$ \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -1 \ -2 \end{pmatrix} $$.
- La quatrième colonne correspond à $$ \begin{pmatrix} 0 \ -2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} $$.

En combinant ces colonnes, nous obtenons la matrice souhaitée.

### (b) Déterminer le polynôme caractéristique $$ \chi_{f}(x) $$

Le polynôme caractéristique est donné par le déterminant de $$ A - xI $$, où $$ A = \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) $$ et $$ I $$ est la matrice identité.

Calculons $$ A - xI $$:
$$
A - xI = \begin{pmatrix}
1-x & 0 & 2 & 0 \
2 & -1-x & 4 & -2 \
0 & 0 & -1-x & 0 \
0 & 0 & -2 & 1-x
\end{pmatrix}.
$$

Nous allons maintenant calculer le déterminant de cette matrice. Pour cela, nous utiliserons la méthode de développement par rapport à la première colonne.

Calculons le déterminant:
$$
\det(A - xI) = (1-x) \det\begin{pmatrix}
-1-x & 4 & -2 \
0 & -1-x & 0 \
0 & -2 & 1-x
\end{pmatrix}.
$$

Calculons ce déterminant en utilisant la méthode de développement par rapport à la première colonne:
$$
\det\begin{pmatrix}
-1-x & 4 & -2 \
0 & -1-x & 0 \
0 & -2 & 1-x
\end{pmatrix} = (-1-x) \det\begin{pmatrix}
-1-x & -2 \
-2 & 1-x
\end{pmatrix}.
$$

Calculons ce déterminant:
$$
\det\begin{pmatrix}
-1-x & -2 \
-2 & 1-x
\end{pmatrix} = (-1-x)(1-x) - (-2)(-2) = (1-x)(-1-x) - 4 = -1 + x + x^2 - 4 = x^2 + x - 5.
$$

Ainsi, nous avons:
$$
\det(A - xI
### (a) Matrice associée à $$ f $$ dans la base canonique La matrice $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) $$ est : \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \ 2 & -1 & 4 & -2 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$ ### (b) Polynôme caractéristique $$ \chi_{f}(x) $$ Le polynôme caractéristique est : $$ \chi_{f}(x) = (x^2 + x - 5) $$ ### (c) Valeurs propres et diagonalisabilité Les valeurs propres de $$ f $$ sont les racines de $$ \chi_{f}(x) $$, donc : $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} $$ Chacune a une multiplicité algébrique de 1. Comme la matrice est de taille 4x4 et que le polynôme caractéristique est de degré 2, $$ f $$ est diagonalisable. ### (d) Base de vecteurs propres et matrices de changement de base Une base $$ \mathcal{B}' $$ de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ formée de vecteurs propres est : $$ \mathcal{B}' = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} $$ La matrice de changement de base $$ P $$ est l'identité, donc $$ P = I $$. La matrice diagonale $$ D $$ est : $$ D = \begin{pmatrix} \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} & 0 & 0 \ 0 & 0 & \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} & 0 \ 0 & 0 & 0 & \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \end{pmatrix} $$ Ainsi, $$ D = P^{-1} A P $$.

Upstudy AI Solution

Answer

(a) Matrice associée à dans la base canonique

(b) Polynôme caractéristique

© Valeurs propres et diagonalisabilité

(d) Base de vecteurs propres et matrices de changement de base

Solution

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