Algébre Linéaire 2 2024-2025 Ens. : M. Borello et V. Fratianni Université Paris 8 Contrôle final NOM Prénom : \( \qquad \) Numéro d'étudiant : \( \qquad \) La qualité de la rédaction sera prise en compte. Exercice 1. Soit \[ \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} \] la base canonique de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) et soit \( f: \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) l'endomorphisme de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) tel que, en base canonique, \[ f\left(\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right]\right)=\left(\left[\begin{array}{cc} x_{1}+2 x_{3} & 2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}-2 x_{4} \\ -x_{3} & -2 x_{3}+x_{4} \end{array}\right]\right) \] (a) Montrer que \[ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right) \] où \( \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \) est la matrice associée à \( f \) dans la base canonique. (b) Déterminer le polynôme caractéristique \( \chi_{f}(x) \). (c) Déterminer les valeurs propres de \( f \), leurs multiplicités algébriques et montrer que l'endomorphisme \( f \) est diagonalisable. (d) Déterminer une base \( \mathcal{B}^{\prime} \) de \( ^{\operatorname{Mat}} \mathbf{2}_{2}(\mathbb{R}) \) formée de vecteurs propres de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \), la matrice de changement de base \( P:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) \) et la matrice diagonale \( D:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, B^{\prime}}(f) \) telles que \[ \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}^{\prime}}(f)=\left(\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right)\right)^{-1} \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) \] Autrement dit, \[ D=P^{-1} A P \] où \( A=\mu_{B, B}(f) \).

Pour résoudre cet exercice d'algèbre linéaire, nous allons procéder étape par étape. ### (a) Montrer que \(\mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)\) est la matrice donnée Nous devons montrer que la matrice associée à l'endomorphisme \( f \) dans la base canonique \(\mathcal{B}\) est \[ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}. \] Pour cela, nous allons appliquer \( f \) à chaque vecteur de la base \(\mathcal{B}\) et exprimer le résultat en termes de la base \(\mathcal{B}\). 1. **Calcul de \( f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) \)**: \[ f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \\ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \] 2. **Calcul de \( f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) \)**: \[ f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 1 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \\ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \] 3. **Calcul de \( f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) \)**: \[ f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \\ -1 & -2 \cdot 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}. \] 4. **Calcul de \( f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) \)**: \[ f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \\ -0 & -2 \cdot 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \] En exprimant ces résultats en termes de la base \(\mathcal{B}\), nous obtenons les colonnes de la matrice associée \( \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \): - La première colonne correspond à \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \). - La deuxième colonne correspond à \( \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \). - La troisième colonne correspond à \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \). - La quatrième colonne correspond à \( \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \). En combinant ces colonnes, nous obtenons la matrice souhaitée. ### (b) Déterminer le polynôme caractéristique \( \chi_{f}(x) \) Le polynôme caractéristique est donné par le déterminant de \( A - xI \), où \( A = \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \) et \( I \) est la matrice identité. Calculons \( A - xI \): \[ A - xI = \begin{pmatrix} 1-x & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1-x & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -1-x & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1-x \end{pmatrix}. \] Nous allons maintenant calculer le déterminant de cette matrice. Pour cela, nous utiliserons la méthode de développement par rapport à la première colonne. Calculons le déterminant: \[ \det(A - xI) = (1-x) \det\begin{pmatrix} -1-x & 4 & -2 \\ 0 & -1-x & 0 \\ 0 & -2 & 1-x \end{pmatrix}. \] Calculons ce déterminant en utilisant la méthode de développement par rapport à la première colonne: \[ \det\begin{pmatrix} -1-x & 4 & -2 \\ 0 & -1-x & 0 \\ 0 & -2 & 1-x \end{pmatrix} = (-1-x) \det\begin{pmatrix} -1-x & -2 \\ -2 & 1-x \end{pmatrix}. \] Calculons ce déterminant: \[ \det\begin{pmatrix} -1-x & -2 \\ -2 & 1-x \end{pmatrix} = (-1-x)(1-x) - (-2)(-2) = (1-x)(-1-x) - 4 = -1 + x + x^2 - 4 = x^2 + x - 5. \] Ainsi, nous avons: \[ \det(A - xI