Algébre Linéaire 2 2024-2025 Ens. : M. Borello et V. Fratianni Université Paris 8 Contrôle final NOM Prénom : $$ \qquad $$ Numéro d'étudiant : $$ \qquad $$ La qualité de la rédaction sera prise en compte. Exercice 1. Soit $$ \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} $$ la base canonique de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ et soit $$ f: \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ l'endomorphisme de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ tel que, en base canonique, $$ f\left(\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \ x_{3} & x_{4} \end{array}\right]\right)=\left(\left[\begin{array}{cc} x_{1}+2 x_{3} & 2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}-2 x_{4} \ -x_{3} & -2 x_{3}+x_{4} \end{array}\right]\right) $$ (a) Montrer que $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0 \ 2 & -1 & 4 & -2 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right) $$ où $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) $$ est la matrice associée à $$ f $$ dans la base canonique. (b) Déterminer le polynôme caractéristique $$ \chi_{f}(x) $$. (c) Déterminer les valeurs propres de $$ f $$, leurs multiplicités algébriques et montrer que l'endomorphisme $$ f $$ est diagonalisable. (d) Déterminer une base $$ \mathcal{B}^{\prime} $$ de $$ ^{\operatorname{Mat}} \mathbf{2}_{2}(\mathbb{R}) $$ formée de vecteurs propres de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$, la matrice de changement de base $$ P:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) $$ et la matrice diagonale $$ D:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, B^{\prime}}(f) $$ telles que $$ \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}^{\prime}}(f)=\left(\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right)\right)^{-1} \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) $$ Autrement dit, $$ D=P^{-1} A P $$ où $$ A=\mu_{B, B}(f) $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre cet exercice d'algèbre linéaire, nous allons procéder étape par étape.

### (a) Montrer que $$\mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)$$ est la matrice donnée

Nous devons montrer que la matrice associée à l'endomorphisme $$ f $$ dans la base canonique $$\mathcal{B}$$ est 
$$
\mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 \
2 & -1 & 4 & -2 \
0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & -2 & 1
\end{pmatrix}.
$$

Pour cela, nous allons appliquer $$ f $$ à chaque vecteur de la base $$\mathcal{B}$$ et exprimer le résultat en termes de la base $$\mathcal{B}$$.

1. **Calcul de $$ f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) $$**:
   $$
   f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 0 \end{pmatrix}.
   $$

2. **Calcul de $$ f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) $$**:
   $$
   f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 1 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \ -0 & -2 \cdot 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}.
   $$

3. **Calcul de $$ f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) $$**:
   $$
   f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \ -1 & -2 \cdot 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \ -1 & -2 \end{pmatrix}.
   $$

4. **Calcul de $$ f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) $$**:
   $$
   f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 - 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \ -0 & -2 \cdot 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}.
   $$

En exprimant ces résultats en termes de la base $$\mathcal{B}$$, nous obtenons les colonnes de la matrice associée $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) $$:
- La première colonne correspond à $$ \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} $$.
- La deuxième colonne correspond à $$ \begin{pmatrix} 0 \ -1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} $$.
- La troisième colonne correspond à $$ \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -1 \ -2 \end{pmatrix} $$.
- La quatrième colonne correspond à $$ \begin{pmatrix} 0 \ -2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} $$.

En combinant ces colonnes, nous obtenons la matrice souhaitée.

### (b) Déterminer le polynôme caractéristique $$ \chi_{f}(x) $$

Le polynôme caractéristique est donné par le déterminant de $$ A - xI $$, où $$ A = \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) $$ et $$ I $$ est la matrice identité.

Calculons $$ A - xI $$:
$$
A - xI = \begin{pmatrix}
1-x & 0 & 2 & 0 \
2 & -1-x & 4 & -2 \
0 & 0 & -1-x & 0 \
0 & 0 & -2 & 1-x
\end{pmatrix}.
$$

Nous allons maintenant calculer le déterminant de cette matrice. Pour cela, nous utiliserons la méthode de développement par rapport à la première colonne.

Calculons le déterminant:
$$
\det(A - xI) = (1-x) \det\begin{pmatrix}
-1-x & 4 & -2 \
0 & -1-x & 0 \
0 & -2 & 1-x
\end{pmatrix}.
$$

Calculons ce déterminant en utilisant la méthode de développement par rapport à la première colonne:
$$
\det\begin{pmatrix}
-1-x & 4 & -2 \
0 & -1-x & 0 \
0 & -2 & 1-x
\end{pmatrix} = (-1-x) \det\begin{pmatrix}
-1-x & -2 \
-2 & 1-x
\end{pmatrix}.
$$

Calculons ce déterminant:
$$
\det\begin{pmatrix}
-1-x & -2 \
-2 & 1-x
\end{pmatrix} = (-1-x)(1-x) - (-2)(-2) = (1-x)(-1-x) - 4 = -1 + x + x^2 - 4 = x^2 + x - 5.
$$

Ainsi, nous avons:
$$
\det(A - xI
### (a) Matrice associée à $$ f $$ dans la base canonique La matrice $$ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) $$ est : \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \ 2 & -1 & 4 & -2 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$ ### (b) Polynôme caractéristique $$ \chi_{f}(x) $$ Le polynôme caractéristique est : $$ \chi_{f}(x) = (x^2 + x - 5) $$ ### (c) Valeurs propres et diagonalisabilité Les valeurs propres de $$ f $$ sont les racines de $$ \chi_{f}(x) $$, donc : $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} $$ Chacune a une multiplicité algébrique de 1. Comme la matrice est de taille 4x4 et que le polynôme caractéristique est de degré 2, $$ f $$ est diagonalisable. ### (d) Base de vecteurs propres et matrices de changement de base Une base $$ \mathcal{B}' $$ de $$ \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) $$ formée de vecteurs propres est : $$ \mathcal{B}' = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} $$ La matrice de changement de base $$ P $$ est l'identité, donc $$ P = I $$. La matrice diagonale $$ D $$ est : $$ D = \begin{pmatrix} \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} & 0 & 0 \ 0 & 0 & \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} & 0 \ 0 & 0 & 0 & \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \end{pmatrix} $$ Ainsi, $$ D = P^{-1} A P $$.

Upstudy AI Solution

Answer

(a) Matrice associée à dans la base canonique

(b) Polynôme caractéristique

© Valeurs propres et diagonalisabilité

(d) Base de vecteurs propres et matrices de changement de base

Solution

(a) Montrer que est la matrice donnée

(b) Déterminer le polynôme caractéristique

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions