$$ \{x+a y=5 b x+2 y=d $$ En donde $$ a=2.000 \pm 0.004 ; b=\frac{1}{a} y d=b+a $$ ¿Con qué exactitud podemos determinar el producto $$ x y $$ ?

Question

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Para determinar la exactitud del producto $$ xy $$ dado el sistema de ecuaciones y las incertidumbres proporcionadas, seguimos estos pasos:

### 1. **Sistema de Ecuaciones:**
$$
\begin{cases}
x + a y = 5 \
b x + 2 y = d
\end{cases}
$$
donde:
$$
a = 2.000 \pm 0.004, \quad b = \frac{1}{a}, \quad d = b + a
$$

### 2. **Resolución del Sistema:**
Primero, expresamos $$ x $$ e $$ y $$ en términos de $$ a $$:

- **De la primera ecuación:**
  $$
  x = 5 - a y
  $$

- **Sustituyendo en la segunda ecuación:**
  $$
  \frac{1}{a}(5 - a y) + 2 y = a + \frac{1}{a}
  $$
  $$
  \frac{5}{a} - y + 2 y = a + \frac{1}{a}
  $$
  $$
  y = a - \frac{4}{a}
  $$

- **Resolviendo para $$ x $$:**
  $$
  x = 5 - a \left(a - \frac{4}{a}\right) = 9 - a^2
  $$

### 3. **Producto $$ xy $$:**
$$
xy = (9 - a^2)\left(a - \frac{4}{a}\right) = 13a - a^3 - \frac{36}{a}
$$

### 4. **Propagación de Incertidumbres:**
Calculamos la derivada de $$ xy $$ respecto a $$ a $$ para determinar la incertidumbre en el producto:

$$
\frac{d(xy)}{da} = 13 - 3a^2 + \frac{36}{a^2}
$$

Evaluando en $$ a = 2.000 $$:

$$
\frac{d(xy)}{da}\Bigg|_{a=2} = 13 - 3(4) + \frac{36}{4} = 10
$$

La incertidumbre en $$ xy $$ es:

$$
\delta(xy) = \left| \frac{d(xy)}{da} \right| \delta a = 10 \times 0.004 = 0.04
$$

### 5. **Confirmación Directa:**
Al evaluar $$ xy $$ en $$ a = 2 $$:
$$
xy = 0
$$
La propagación de incertidumbres confirma que:
$$
\delta(xy) = \pm 0.04
$$

### **Conclusión:**
El producto $$ xy $$ se determina con una exactitud de **±0.04 unidades**.

**Respuesta Final:**

El producto $$ xy $$ se determina con una exactitud de ± 0,04 unidades.
El producto $$ xy $$ se determina con una exactitud de ±0.04 unidades.

En donde
¿Con qué exactitud podemos determinar el producto ?

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En donde ¿Con qué exactitud podemos determinar el producto ?