Aufgabe: (2 Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(4|-14|-8) \) von der Ebene E: \( 4 x_{1}+8 x_{2}+8 x_{3}=-16 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat.

Um den Abstand des Punktes \( P(4|-14|-8) \) von der Ebene \( E: 4 x_{1}+8 x_{2}+8 x_{3}=-16 \) zu berechnen, verwenden wir die allgemeine Formel für den Abstand eines Punktes \( P(x_0, y_0, z_0) \) von der Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ \text{Abstand} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Hier ist \( A = 4 \), \( B = 8 \), \( C = 8 \), und \( D = 16 \) (da wir die Gleichung umstellen, um sie in die Form \( Ax + By + Cz + D = 0 \) zu bringen). Setzen wir nun die Werte von \( P \) in die Formel ein: - \( x_0 = 4 \) - \( y_0 = -14 \) - \( z_0 = -8 \) Berechnen wir zuerst den Zähler: \[ |4 \cdot 4 + 8 \cdot (-14) + 8 \cdot (-8) + 16| = |16 - 112 - 64 + 16| = |-144| = 144 \] Nun den Nenner: \[ \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{4^2 + 8^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12 \] Jetzt setzen wir alles zusammen, um den Abstand zu berechnen: \[ \text{Abstand} = \frac{144}{12} = 12 \] Nun zu einem weiteren Punkt \( Q \), der den gleichen Abstand zur Ebene hat. Wir können \( Q \) einfach in Richtung der Normalen der Ebene von \( P \) verschieben. Die Normale der Ebene ist \( (4, 8, 8) \). Wir nehmen den Richtungsvektor der Normalen und skalieren ihn, um 12 Einheiten nach oben oder unten von \( P \) zu gelangen. Ein möglicher Punkt \( Q \) könnte sein: \[ Q(4 + \frac{4}{\sqrt{4^2 + 8^2 + 8^2}} \cdot 12, -14 + \frac{8}{\sqrt{4^2 + 8^2 + 8^2}} \cdot 12, -8 + \frac{8}{\sqrt{4^2 + 8^2 + 8^2}} \cdot 12) \] Ein einfacher Ansatz ist, einfach 12 Einheiten in eine Richtung der Normalen zu gehen: \[ Q(4 + 4, -14 + 8, -8 + 8) = Q(8, -6, 0) \] Somit ist der Abstand des Punktes \( P \) zur Ebene \( E \) gleich 12 und ein weitere Punkt \( Q \) mit dem gleichen Abstand ist \( (8, -6, 0) \).