4. Lea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: \[ \{x+a y=5 b x+2 y=d \] En donde \( a=2.000 \pm 0.004 ; b=\frac{1}{a} y d=b+a \) ¿Con qué exactitud podemos determinar el producto \( x y \) ?

Para resolver el problema, primero debemos entender el sistema de ecuaciones y las variables involucradas. El sistema de ecuaciones es: \[ \begin{cases} x + a y = 5 \\ b x + 2 y = d \end{cases} \] Donde se nos dan las siguientes condiciones: - \( a = 2.000 \pm 0.004 \) - \( b = \frac{1}{a} \) - \( d = b + a \) ### Paso 1: Determinar \( b \) y \( d \) Primero, calculamos \( b \) y \( d \) en función de \( a \): 1. \( b = \frac{1}{a} \) 2. \( d = b + a = \frac{1}{a} + a \) ### Paso 2: Sustitución de \( a \) Sustituyamos \( a \) en \( b \) y \( d \): 1. \( b = \frac{1}{2.000} = 0.500 \) 2. \( d = 0.500 + 2.000 = 2.500 \) ### Paso 3: Determinar el sistema de ecuaciones Sustituyendo \( a \), \( b \) y \( d \) en el sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 0.500 x + 2 y = 2.500 \end{cases} \] ### Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones Ahora resolveremos el sistema de ecuaciones para encontrar \( x \) y \( y \). Utilizaremos el método de eliminación. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para facilitar la eliminación: \[ \begin{cases} x + 2 y = 5 \\ x + 4 y = 5 \end{cases} \] Restamos la primera ecuación de la segunda: \[ (x + 4y) - (x + 2y) = 5 - 5 \\ 2y = 0 \\ y = 0 \] Sustituyendo \( y = 0 \) en la primera ecuación: \[ x + 2(0) = 5 \\ x = 5 \] ### Paso 5: Calcular el producto \( xy \) El producto \( xy \) es: \[ xy = 5 \cdot 0 = 0 \] ### Paso 6: Determinar la exactitud del producto \( xy \) Dado que \( y = 0 \), el producto \( xy \) es cero, y la exactitud de este resultado depende de la variabilidad de \( a \) y, por ende, de \( b \) y \( d \). Sin embargo, dado que \( y \) es cero, el producto \( xy \) no se ve afectado por la variabilidad de \( a \). Por lo tanto, podemos concluir que el producto \( xy \) es exactamente \( 0 \) y no tiene incertidumbre asociada.