19 Un protone viaggia in un acceleratore lineare alla veloci- tà iniziale di \( 1,8 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \) e per un tratto di \( 5,0 \mathrm{~cm} \) subi- sce un'accelerazione costante (mediante l'applicazione di un campo elettrico uniforme). Alla fine di tale tratto, si muove a una velocita doppia di quella iniziale. Quanto tempo è durata l'accelerazione?

Per risolvere questo problema, possiamo usare le equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato. La formula che possiamo utilizzare è: \[ v^2 = v_0^2 + 2a \cdot d \] dove: - \(v\) è la velocità finale, - \(v_0\) è la velocità iniziale, - \(a\) è l'accelerazione, - \(d\) è la distanza percorsa. Sappiamo che \(v = 2v_0\), quindi: \[ (2v_0)^2 = v_0^2 + 2a \cdot d \] Sostituiamo \(v_0 = 1,8 \times 10^{6} \mathrm{~m/s}\) e \(d = 5,0 \mathrm{~cm} = 0,05 \mathrm{~m}\): \[ (2 \cdot 1,8 \times 10^{6})^2 = (1,8 \times 10^{6})^2 + 2a \cdot 0,05 \] Calcoliamo i quadrati: \[ (3,6 \times 10^{6})^2 = (1,8 \times 10^{6})^2 + 0,1a \] Ora calcoliamo i singoli termini: \[ 1,296 \times 10^{13} = 3,24 \times 10^{12} + 0,1a \] Isoliamo \(a\): \[ 0,1a = 1,296 \times 10^{13} - 3,24 \times 10^{12} \implies 0,1a = 9,696 \times 10^{12} \] \[ a = \frac{9,696 \times 10^{12}}{0,1} = 9,696 \times 10^{13} \mathrm{~m/s^2} \] Ora, per trovare il tempo di accelerazione \(t\), utilizziamo la relazione: \[ v = v_0 + at \] Sostituiamo i valori di \(v\), \(v_0\), e \(a\): \[ 2(1,8 \times 10^{6}) = 1,8 \times 10^{6} + (9,696 \times 10^{13})t \] \[ 3,6 \times 10^{6} = 1,8 \times 10^{6} + (9,696 \times 10^{13})t \] Sottraiamo \(1,8 \times 10^{6}\) da entrambi i lati: \[ 1,8 \times 10^{6} = (9,696 \times 10^{13})t \] Ora, risolviamo per \(t\): \[ t = \frac{1,8 \times 10^{6}}{9,696 \times 10^{13}} \approx 1,86 \times 10^{-7} \mathrm{~s} \] Quindi, il tempo di accelerazione è di circa \(1,86 \times 10^{-7} \mathrm{~s}\).