PROBLEMA 10 Sabiendo que la razón geométrica de do números cuya diferencia de cuadrados es 180 Se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 mayor. Hallar su producto. \( \begin{array}{lll}\text { A) } 180 & \text { B) } 396 & \text { C) } 216 \\ \text { D) } 270 & \text { E) } 360 & \end{array} \)

Para resolver el problema, sigamos los pasos detalladamente: **Datos:** - Dos números: \( a \) y \( b \), donde \( a > b \). - Diferencia de cuadrados: \( a^2 - b^2 = 180 \). - La razón geométrica \( \frac{a}{b} \) se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor, es decir: \[ \frac{a - 6}{b + 6} = \frac{b}{a} \] **Paso 1: Resolver la ecuación de la razón geométrica** \[ \frac{a - 6}{b + 6} = \frac{b}{a} \] Multiplicando en cruz: \[ a(a - 6) = b(b + 6) \] \[ a^2 - 6a = b^2 + 6b \] **Paso 2: Utilizar la diferencia de cuadrados** Sabemos que: \[ a^2 - b^2 = 180 \] Sustituyendo en la ecuación anterior: \[ 180 - 6a = 6b \] Dividimos entre 6: \[ 30 - a = b \] Es decir: \[ b = 30 - a \] **Paso 3: Sustituir \( b \) en la diferencia de cuadrados** \[ a^2 - (30 - a)^2 = 180 \] Expandiendo: \[ a^2 - (900 - 60a + a^2) = 180 \] Simplificando: \[ 60a - 900 = 180 \] \[ 60a = 1080 \] \[ a = 18 \] Entonces: \[ b = 30 - 18 = 12 \] **Paso 4: Calcular el producto \( a \times b \)** \[ 18 \times 12 = 216 \] **Respuesta:** **C) 216**