Application $$ \begin{array}{lll} ext { Ecrire la forme canonique de } f(x) ext { dans chacun des cas suivants : } \ \begin{array}{lll} ext { a) } f(x)=2 x+x^{2} & ext {;b) } f(x)=x^{2}-5 x+1 ext {;c) } f(x)=-x^{2}+x-2 \ ext { d) } f(x)=2 x^{2}+\frac{3}{4} x+5 ; ext {;) } f(x)=(3 x-2)(x+3) ; & ext { f) } f(x)=-2 x^{2}-5 x+3 \ ext { g) } f(x)=x^{2}+\sqrt{2} x+1 ; & ext { h) } f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x ; & ext { i) } f(x)=x-2 x^{2} \ ext { j) } f(x)=x(3 x-2)-2 ; & ext { k) } f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-x-8 ; & ext { 1) } f(x)=-2 \sqrt{3} x^{2}-\sqrt{6} x\end{array}\end{array} $$

Question

Application $$ \begin{array}{lll}	ext { Ecrire la forme canonique de } f(x) 	ext { dans chacun des cas suivants : } \ \begin{array}{lll}	ext { a) } f(x)=2 x+x^{2} & 	ext {;b) } f(x)=x^{2}-5 x+1 	ext {;c) } f(x)=-x^{2}+x-2 \ 	ext { d) } f(x)=2 x^{2}+\frac{3}{4} x+5 ; 	ext {;) } f(x)=(3 x-2)(x+3) ; & 	ext { f) } f(x)=-2 x^{2}-5 x+3 \ 	ext { g) } f(x)=x^{2}+\sqrt{2} x+1 ; & 	ext { h) } f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x ; & 	ext { i) } f(x)=x-2 x^{2} \ 	ext { j) } f(x)=x(3 x-2)-2 ; & 	ext { k) } f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-x-8 ; & 	ext { 1) } f(x)=-2 \sqrt{3} x^{2}-\sqrt{6} x\end{array}\end{array} $$

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Voici la forme canonique $$ f(x) = a(x - h)^2 + k $$ de chacune des fonctions quadratiques données :

---

**a) $$ f(x) = 2x + x^{2} $$**

Réécrivons l’équation en réarrangeant les termes :
$$ f(x) = x^{2} + 2x $$

Pour compléter le carré :
$$ f(x) = (x^{2} + 2x + 1) - 1 $$
$$ f(x) = (x + 1)^2 - 1 $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = (x + 1)^2 - 1 $$

---

**b) $$ f(x) = x^{2} - 5x + 1 $$**

Complétons le carré :
$$ f(x) = x^{2} - 5x $$
$$ f(x) = \left( x^{2} - 5x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 \right) - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 1 $$
$$ f(x) = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + 1 $$
$$ f(x) = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{21}{4} $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{21}{4} $$

---

**c) $$ f(x) = -x^{2} + x - 2 $$**

Factorisons le coefficient de $$ x^{2} $$ :
$$ f(x) = -\left(x^{2} - x\right) - 2 $$

Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses :
$$ f(x) = -\left( x^{2} - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right) + \frac{1}{4} - 2 $$
$$ f(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} - 2 $$
$$ f(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{4} $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{4} $$

---

**d) $$ f(x) = 2x^{2} + \frac{3}{4}x + 5 $$**

Factorisons le coefficient de $$ x^{2} $$ :
$$ f(x) = 2\left(x^{2} + \frac{3}{8}x\right) + 5 $$

Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses :
$$ f(x) = 2\left(x^{2} + \frac{3}{8}x + \left(\frac{3}{16}\right)^2\right) - 2\left(\frac{9}{256}\right) + 5 $$
$$ f(x) = 2\left(x + \frac{3}{16}\right)^2 - \frac{9}{128} + 5 $$
$$ f(x) = 2\left(x + \frac{3}{16}\right)^2 + \frac{631}{128} $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = 2\left(x + \frac{3}{16}\right)^2 + \frac{631}{128} $$

---

**e) $$ f(x) = (3x - 2)(x + 3) $$**

Développons l'expression :
$$ f(x) = 3x(x) + 3x(3) - 2(x) - 2(3) $$
$$ f(x) = 3x^{2} + 9x - 2x - 6 $$
$$ f(x) = 3x^{2} + 7x - 6 $$

Forme canonique :
$$ f(x) = 3\left(x^{2} + \frac{7}{3}x\right) - 6 $$
$$ f(x) = 3\left(x + \frac{7}{6}\right)^2 - 3\left(\frac{49}{36}\right) - 6 $$
$$ f(x) = 3\left(x + \frac{7}{6}\right)^2 - \frac{49}{12} - 6 $$
$$ f(x) = 3\left(x + \frac{7}{6}\right)^2 - \frac{121}{12} $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = 3\left(x + \frac{7}{6}\right)^2 - \frac{121}{12} $$

---

**f) $$ f(x) = -2x^{2} - 5x + 3 $$**

Factorisons le coefficient de $$ x^{2} $$ :
$$ f(x) = -2\left(x^{2} + \frac{5}{2}x\right) + 3 $$

Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses :
$$ f(x) = -2\left(x^{2} + \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2\right) + 2\left(\frac{25}{16}\right) + 3 $$
$$ f(x) = -2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{25}{8} + 3 $$
$$ f(x) = -2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{49}{8} $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = -2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{49}{8} $$

---

**g) $$ f(x) = x^{2} + \sqrt{2}x + 1 $$**

Complétons le carré :
$$ f(x) = x^{2} + \sqrt{2}x $$
$$ f(x) = \left(x^{2} + \sqrt{2}x + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 $$
$$ f(x) = \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 $$
$$ f(x) = \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} $$

---

**h) $$ f(x) = -\frac{1}{2}x^{2} + 4x $$**

Factorisons le coefficient de $$ x^{2} $$ :
$$ f(x) = -\frac{1}{2}\left(x^{2} - 8x\right) $$

Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses :
$$ f(x) = -\frac{1}{2}\left(x^{2} - 8x + 16\right) + \frac{16}{2} $$
$$ f(x) = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8 $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8 $$

---

**i) $$ f(x) = x - 2x^{2} $$**

Réarrangeons les termes :
$$ f(x) = -2x^{2} + x $$

Factorisons le coefficient de $$ x^{2} $$ :
$$ f(x) = -2\left(x^{2} - \frac{1}{2}x\right) $$

Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses :
$$ f(x) = -2\left(x^{2} - \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) + 2\left(\frac{1}{16}\right) $$
$$ f(x) = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{8} $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{8} $$

---

**j) $$ f(x) = x(3x - 2) - 2 $$**

Développons l'expression :
$$ f(x) = 3x^{2} - 2x - 2 $$

Forme canonique :
$$ f(x) = 3\left(x^{2} - \frac{2}{3}x\right) - 2 $$
$$ f(x) = 3\left(x^{2} - \frac{2}{3}x + \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) - 3\left(\frac{1}{9}\right) - 2 $$
$$ f(x) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} - 2 $$
$$ f(x) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{7}{3} $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{7}{3} $$

---

**k) $$ f(x) = \frac{1}{4}x^{2} - x - 8 $$**

Factorisons le coefficient de $$ x^{2} $$ :
$$ f(x) = \frac{1}{4}\left(x^{2} - 4x\right) - 8 $$

Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses :
$$ f(x) = \frac{1}{4}\left(x^{2} - 4x + 4\right) - \frac{4}{4} - 8 $$
$$ f(x) = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 1 - 8 $$
$$ f(x) = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 9 $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 9 $$

---

**l) $$ f(x) = -2\sqrt{3}x^{2} - \sqrt{6}x $$**

Factorisons le coefficient de $$ x^{2} $$ :
$$ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x^{2} + \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}x\right) $$
$$ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}x\right) $$

Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses :
$$ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}x + \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2\right) + 2\sqrt{3}\left(\frac{1}{8}\right) $$
$$ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} $$

**Forme canonique :**
$$ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} $$

---
Voici la forme canonique de chaque fonction quadratique : a) $$ f(x) = (x + 1)^2 - 1 $$ b) $$ f(x) = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{21}{4} $$ c) $$ f(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{4} $$ d) $$ f(x) = 2\left(x + \frac{3}{16}\right)^2 + \frac{631}{128} $$ e) $$ f(x) = 3\left(x + \frac{7}{6}\right)^2 - \frac{121}{12} $$ f) $$ f(x) = -2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{49}{8} $$ g) $$ f(x) = \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} $$ h) $$ f(x) = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8 $$ i) $$ f(x) = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{8} $$ j) $$ f(x) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{7}{3} $$ k) $$ f(x) = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 9 $$ l) $$ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} $$

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