343. Два вертикальных сообщающихся сосуда, площа- ди поперечных сечений которых $$ S_{1}=S_{2}=20 $$ см $$ ^{2} $$, заполне- ны маслом $$ \left( ho=0,90 \frac{\Gamma}{ ext { см }^{3}} ight) $$ и закрыты подвижными порш- нями с массами $$ m_{1}=100 $$ г и $$ m_{2}=172 $$ г. Определите, на сколько уровень жидкости в первом сосуде выше, чем во втором.

Question

343. Два вертикальных сообщающихся сосуда, площа- ди поперечных сечений которых $$ S_{1}=S_{2}=20 $$ см $$ ^{2} $$, заполне- ны маслом $$ \left(ho=0,90 \frac{\Gamma}{	ext { см }^{3}}ight) $$ и закрыты подвижными порш- нями с массами $$ m_{1}=100 $$ г и $$ m_{2}=172 $$ г. Определите, на сколько уровень жидкости в первом сосуде выше, чем во втором.

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим два сосуда, в каждом из которых на поверхности жидкости действует поршень с весом. Давление, оказываемое поршнем, определяется формулой

$$
P = P_{\text{атм}} + \frac{mg}{S},
$$

где $$ m $$ – масса поршня, $$ g $$ – ускорение свободного падения, $$ S $$ – площадь поперечного сечения сосуда.

Обозначим давление в первом сосуде как

$$
P_{1} = P_{\text{атм}} + \frac{m_{1}g}{S_{1}},
$$

а во втором сосуде – как

$$
P_{2} = P_{\text{атм}} + \frac{m_{2}g}{S_{2}}.
$$

Так как сосуды сообщающиеся, давление в одной и той же горизонтальной плоскости жидкости должно быть одинаковым. Пусть $$ h_{1} $$ и $$ h_{2} $$ – высоты столба жидкости от уровня соединения до поверхности в первом и втором сосудах соответственно. Тогда гидростатическое равновесие обеспечивает условие

$$
P_{1} + \rho g h_{1} = P_{2} + \rho g h_{2}.
$$

Вычтем $$ P_{1} $$ и получим

$$
\rho g \left( h_{1} - h_{2} \right) = P_{2} - P_{1}.
$$

Подставив выражения для $$ P_{1} $$ и $$ P_{2} $$, получим

$$
\rho g \left( h_{1} - h_{2} \right) = \left(P_{\text{атм}} + \frac{m_{2}g}{S_{2}}\right) - \left(P_{\text{атм}} + \frac{m_{1}g}{S_{1}}\right) = \frac{m_{2}g}{S_{2}} - \frac{m_{1}g}{S_{1}}.
$$

При условии, что $$ S_{1} = S_{2} = S $$, это выражение упрощается до

$$
\rho g \left( h_{1} - h_{2} \right) = g \frac{m_{2} - m_{1}}{S}.
$$

Сократим $$ g $$ (при $$ g \neq 0 $$):

$$
\rho \left( h_{1} - h_{2} \right) = \frac{m_{2} - m_{1}}{S}.
$$

Отсюда разность высот получается равной

$$
h_{1} - h_{2} = \frac{m_{2} - m_{1}}{\rho S}.
$$

Подставим числовые значения. Переведём единицы в систему СИ:

- $$ m_{1} = 100 $$ г $$ = 0{,}100 $$ кг,
- $$ m_{2} = 172 $$ г $$ = 0{,}172 $$ кг,
- $$ S = 20 $$ см$$^2 = 20 \times 10^{-4} $$ м$$^2 = 2 \times 10^{-3} $$ м$$^2$$,
- Плотность масла $$ \rho = 0{,}90 $$ г/см$$^3 = 900 $$ кг/м$$^3$$.

Теперь подставляем в формулу:

$$
h_{1} - h_{2} = \frac{0{,}172 - 0{,}100}{900 \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{0{,}072}{1{,}8} = 0{,}04 \text{ м}.
$$

Таким образом, уровень жидкости в первом сосуде выше, чем во втором, на

$$
0,04 \text{ м} = 4 \text{ см}.
$$
Уровень жидкости в первом сосуде выше, чем во втором, на 4 см.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Physics Questions