Esercizio 13.16 Costruire, se possibile, un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} \) abbia come nucleo il sottospazio \( U=\mathcal{L}((1,1,0),(-1,1,1)) \). È unica tale applicazionet Svolgimento Deve essere \[ F(1,1,0)=F(-1,1,1)=(0,0,0,0) \] Poiché manca un vettore, per completare ad una base dello spazio di partenza, le applicazioni lineari possibili sono infinite. Si badi a non far sì che anche il terros vettore della base di partenza vada a finire nel vettore nullo, altrimenti si ottiene l'applicazione nulla che ha nucleo di dimensione tre. Lavorando un po' con l'occhio allenato si trova ad esempio \[ F(x, y, z)=(x-y+2 z, 0,0,0) \]

Per costruire un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} \) con nucleo \( U = \mathcal{L}((1,1,0),(-1,1,1)) \), dobbiamo seguire alcuni passaggi. ### Passo 1: Comprendere il nucleo Il nucleo di \( F \) è il sottospazio generato dai vettori \( (1,1,0) \) e \( (-1,1,1) \). Questo significa che ogni vettore \( v \in \mathbb{R}^{3} \) che può essere scritto come una combinazione lineare di questi due vettori sarà mappato al vettore nullo in \( \mathbb{R}^{4} \). ### Passo 2: Determinare la dimensione del nucleo Poiché \( U \) è generato da due vettori linearmente indipendenti, la dimensione del nucleo è 2. Dato che \( \mathbb{R}^{3} \) ha dimensione 3, la dimensione dell'immagine di \( F \) sarà: \[ \text{dim}(\text{Im}(F)) = \text{dim}(\mathbb{R}^{3}) - \text{dim}(\text{Ker}(F)) = 3 - 2 = 1 \] ### Passo 3: Scegliere un vettore per l'immagine Per costruire \( F \), dobbiamo scegliere un vettore non nullo in \( \mathbb{R}^{4} \) per l'immagine. Possiamo scegliere, ad esempio, \( (1,0,0,0) \). ### Passo 4: Definire l'applicazione lineare Ora possiamo definire \( F \) in modo che i vettori nel nucleo vengano mappati al vettore nullo e un vettore che non appartiene al nucleo venga mappato a \( (1,0,0,0) \). Una possibile definizione di \( F \) è: \[ F(x, y, z) = (x - y + 2z, 0, 0, 0) \] ### Verifica Verifichiamo che i vettori nel nucleo vengano mappati al vettore nullo: 1. Per \( (1,1,0) \): \[ F(1, 1, 0) = (1 - 1 + 2 \cdot 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) \] 2. Per \( (-1,1,1) \): \[ F(-1, 1, 1) = (-1 - 1 + 2 \cdot 1, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) \] Entrambi i vettori del nucleo vengono mappati al vettore nullo. ### Conclusione L'applicazione lineare \( F(x, y, z) = (x - y + 2z, 0, 0, 0) \) ha come nucleo il sottospazio \( U \) e l'immagine è un sottospazio di dimensione 1 in \( \mathbb{R}^{4} \). Poiché possiamo scegliere diversi vettori per l'immagine, ci sono infinite applicazioni lineari che soddisfano le condizioni date. Tuttavia, l'applicazione specificata non è unica.