Bestimmen der prozentualen Wachstumsrate pro Zeitspanne 3. Eine Hefekultur von 5 g vermehrt sich so, dass der Bestand jede Stunde auf das Zweieinhalbfache anwächst. Wie groß ist die prozentuale Wachstumsrate pro Stunde? Welchen Einfluss hat der Anfangsbestand? Begründe.

**Berechnung der prozentualen Wachstumsrate pro Stunde** 1. **Gegebene Daten:** - Anfangsbestand (B₀): 5 g - Wachstumsfaktor pro Stunde: 2,5-fach 2. **Bestimmung der prozentualen Wachstumsrate:** Der Wachstumsfaktor gibt an, um wie viel sich der Anfangsbestand in einer bestimmten Zeitspanne vergrößert. In diesem Fall wächst die Hefekultur jede Stunde auf das Zweieinhalbfache (2,5-fach) ihres vorherigen Bestands. Die Beziehung zwischen Wachstumsfaktor (F) und prozentualer Wachstumsrate (p) wird durch die Formel dargestellt: \[ F = 1 + \frac{p}{100} \] Setzen wir den gegebenen Wachstumsfaktor ein: \[ 2,5 = 1 + \frac{p}{100} \] Um \( p \) zu berechnen, lösen wir die Gleichung nach \( p \) auf: \[ \frac{p}{100} = 2,5 - 1 \] \[ \frac{p}{100} = 1,5 \] \[ p = 1,5 \times 100 \] \[ p = 150\% \] **Ergebnis:** Die prozentuale Wachstumsrate pro Stunde beträgt **150 %**. --- **Einfluss des Anfangsbestands** Der Anfangsbestand \( B₀ \) spielt eine wesentliche Rolle bei der absoluten Veränderung der Kulturmenge, obwohl die prozentuale Wachstumsrate \( p \) unabhängig vom Anfangsbestand ist. - **Unabhängigkeit der prozentualen Wachstumsrate:** Die prozentuale Wachstumsrate von 150 % pro Stunde bleibt konstant, egal wie groß oder klein der Anfangsbestand ist. Diese Rate beschreibt die relative Vergrößerung im Verhältnis zum aktuellen Bestand. - **Abhängigkeit der absoluten Zunahme:** Der tatsächliche Gewichtsanstieg der Hefekultur hängt direkt vom Anfangsbestand ab. Ein größerer Anfangsbestand führt zu einer größeren absoluten Zunahme in jeder Stunde, da die gleiche prozentuale Rate auf eine größere Basis angewendet wird. **Beispiel:** - **Anfangsbestand:** 5 g \[ \text{Zunahme nach 1 Stunde} = 5 \, \text{g} \times 150\% = 7,5 \, \text{g} \] \[ \text{Neuer Bestand} = 5 \, \text{g} + 7,5 \, \text{g} = 12,5 \, \text{g} \] - **Anfangsbestand:** 10 g \[ \text{Zunahme nach 1 Stunde} = 10 \, \text{g} \times 150\% = 15 \, \text{g} \] \[ \text{Neuer Bestand} = 10 \, \text{g} + 15 \, \text{g} = 25 \, \text{g} \] In beiden Fällen beträgt die Wachstumsrate 150 %, aber die absolute Zunahme ist bei einem höheren Anfangsbestand größer. **Zusammenfassung:** - Die prozentuale Wachstumsrate von 150 % pro Stunde ist unabhängig vom Anfangsbestand. - Der Anfangsbestand beeinflusst jedoch die absolute Menge der Zunahme. Ein höherer Anfangsbestand führt zu einer größeren absoluten Zunahme pro Zeitspanne bei gleicher prozentualer Wachstumsrate.