Fie \( A: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}, A(x)=\left(2 x_{1}+x_{2},-x_{1}+4 x_{2}\right) \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbf{R}^{2} \). Să se determine: matricea asociată operatorului \( A \) în raport cu baza canonică a lui \( \mathbf{R}^{3} \), polinomul caracteristic, valorile proprii şi multiplicităţile algebrice ale acestora; subspaţiile de vectori proprii corespunzători şi multiplicităţile geometrice ale valorilor proprii. Este \( A \) diagonalizabil? În caz afirmativ să se precizeze forma diagonală şi baza în care \( A \) are această formă diagonală.

Pentru a determina matricea asociată operatorului \( A \), putem aplica operatorul pe baza canonică \( e_1 = (1, 0) \) și \( e_2 = (0, 1) \): 1. \( A(e_1) = A(1, 0) = (2 \cdot 1 + 0, -1 + 4 \cdot 0) = (2, -1) \) 2. \( A(e_2) = A(0, 1) = (2 \cdot 0 + 1, -0 + 4 \cdot 1) = (1, 4) \) Matricea asociată operatorului \( A \) în raport cu baza canonică este: \[ [ A ] = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \] Polinomul caracteristic se calculează din determinantul \( \det(A - \lambda I) \): \[ \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ -1 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)(4 - \lambda) + 1 = \lambda^2 - 6 \lambda + 9 = (\lambda - 3)^2 \] Valorile proprii sunt \( \lambda_1 = 3 \) cu multiplicitate algebrică \( 2 \). Subspațiile de vectori proprii se determină prin rezolvarea \( (A - 3I)v = 0 \): \[ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 \] Deci vectorii proprii corespunzători au forma \( k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \), unde \( k \ne 0 \). Multiplicitatea geometrică a valorii proprii \( \lambda_1 = 3 \) este \( 1 \). Acum, deoarece multiplicitatea geometrică este diferită de cea algebrică, \( A \) nu este diagonalizabilă. Formele în care ar putea fi scris este o formă Jordan, iar baza în care are această formă este bine-cunoscută: funcțiile proprii și vectorii asociați, indicând o matrice de forma: \[ J = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \] într-o bază corespunzătoare.