Fie $$ A: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}, A(x)=\left(2 x_{1}+x_{2},-x_{1}+4 x_{2}\right) $$ pentru orice $$ x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbf{R}^{2} $$. Să se determine: matricea asociată operatorului $$ A $$ în raport cu baza canonică a lui $$ \mathbf{R}^{3} $$, polinomul caracteristic, valorile proprii şi multiplicităţile algebrice ale acestora; subspaţiile de vectori proprii corespunzători şi multiplicităţile geometrice ale valorilor proprii. Este $$ A $$ diagonalizabil? În caz afirmativ să se precizeze forma diagonală şi baza în care $$ A $$ are această formă diagonală.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Să analizăm operatorul liniar $$ A: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2} $$, definit prin $$ A(x) = (2x_1 + x_2, -x_1 + 4x_2) $$ pentru orice $$ x = (x_1, x_2) \in \mathbf{R}^{2} $$.

### 1. Matricea asociată operatorului $$ A $$ în baza canonică a lui $$ \mathbf{R}^{2} $$

Operatorul $$ A $$ este reprezentat prin matricea $$ M_A $$ în baza canonică a lui $$ \mathbf{R}^{2} $$ astfel:

$$
M_A = 
\begin{pmatrix}
2 & 1 \
-1 & 4 \
\end{pmatrix}
$$

### 2. Polinomul caracteristic

Polinomul caracteristic $$ p(\lambda) $$ se determină prin calcularea determinantului matricei $$ M_A - \lambda I $$, unde $$ I $$ este matricea identitate 2x2:

$$
p(\lambda) = \det(M_A - \lambda I) = \det
\begin{pmatrix}
2 - \lambda & 1 \
-1 & 4 - \lambda \
\end{pmatrix}
$$

Calculăm determinantul:

$$
p(\lambda) = (2 - \lambda)(4 - \lambda) - (-1)(1) = (2 - \lambda)(4 - \lambda) + 1
$$

Dezvoltăm produsul:

$$
(2 - \lambda)(4 - \lambda) = 8 - 2\lambda - 4\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 6\lambda + 8
$$

Astfel,

$$
p(\lambda) = \lambda^2 - 6\lambda + 8 + 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda - 3)^2
$$

### 3. Valorile proprii și multiplicitățile algebrice

Valorile proprii sunt rădăcinile polinomului caracteristic:

$$
\lambda = 3 \quad \text{cu multiplicitate algebrică} \ 2
$$

### 4. Subspațiile de vectori proprii și multiplicitățile geometrice

Pentru a determina subspațiile de vectori proprii asociate valorii proprii $$ \lambda = 3 $$, rezolvăm ecuația $$ (A - 3I)x = 0 $$:

$$
A - 3I = 
\begin{pmatrix}
2 - 3 & 1 \
-1 & 4 - 3 \
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \
-1 & 1 \
\end{pmatrix}
$$

Sistemul de ecuații este:

$$
- x_1 + x_2 = 0 \
- x_1 + x_2 = 0 \
$$

Aceasta implică condiția $$ x_1 = x_2 $$. Subspațiul propriu este generat de vectorul $$ (1, 1) $$:

$$
E_3 = \left\{ t \begin{pmatrix}1 \ 1 \end{pmatrix} \mid t \in \mathbf{R} \right\}
$$

Multiplicitatea geometrică a valorii proprii $$ \lambda = 3 $$ este $$ 1 $$.

### 5. Diagonalizarea operatorului $$ A $$

Un operator este diagonalizabil dacă pentru fiecare valoare proprie, multiplicitatea algebrică este egală cu multiplicitatea geometrică. În cazul nostru:

- Valoare proprie $$ \lambda = 3 $$: multiplicitate algebrică $$ 2 $$, multiplicitate geometrică $$ 1 $$.

Deoarece $$ 2 \neq 1 $$, operatorul $$ A $$ **nu este diagonalizabil**.

### **Concluzie**

- **Matricea asociată operatorului $$ A $$ în baza canonică a lui $$ \mathbf{R}^{2} $$** este:

$$
M_A = 
\begin{pmatrix}
2 & 1 \
-1 & 4 \
\end{pmatrix}
$$

- **Polinomul caracteristic** este $$ p(\lambda) = (\lambda - 3)^2 $$.

- **Valoarea proprie** este $$ \lambda = 3 $$ cu **multiplicitate algebrică** 2.

- **Subspațiul de vectori proprii** asociat este $$ E_3 = \left\{ t(1,1) \mid t \in \mathbf{R} \right\} $$ cu **multiplicitate geometrică** 1.

- **Operatorul $$ A $$ nu este diagonalizabil**, deoarece multiplicitatea algebrică a valorii proprii $$ \lambda = 3 $$ nu este egală cu multiplicitatea geometrică.
Operatorul $$ A $$ nu este diagonalizabil.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Other Questions