Fie \( A: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}, A(x)=\left(2 x_{1}+x_{2},-x_{1}+4 x_{2}\right) \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbf{R}^{2} \). Să se determine: matricea asociată operatorului \( A \) în raport cu baza canonică a lui \( \mathbf{R}^{3} \), polinomul caracteristic, valorile proprii şi multiplicităţile algebrice ale acestora; subspaţiile de vectori proprii corespunzători şi multiplicităţile geometrice ale valorilor proprii. Este \( A \) diagonalizabil? În caz afirmativ să se precizeze forma diagonală şi baza în care \( A \) are această formă diagonală.

Să analizăm operatorul liniar \( A: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2} \), definit prin \( A(x) = (2x_1 + x_2, -x_1 + 4x_2) \) pentru orice \( x = (x_1, x_2) \in \mathbf{R}^{2} \). ### 1. Matricea asociată operatorului \( A \) în baza canonică a lui \( \mathbf{R}^{2} \) Operatorul \( A \) este reprezentat prin matricea \( M_A \) în baza canonică a lui \( \mathbf{R}^{2} \) astfel: \[ M_A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \\ \end{pmatrix} \] ### 2. Polinomul caracteristic Polinomul caracteristic \( p(\lambda) \) se determină prin calcularea determinantului matricei \( M_A - \lambda I \), unde \( I \) este matricea identitate 2x2: \[ p(\lambda) = \det(M_A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ -1 & 4 - \lambda \\ \end{pmatrix} \] Calculăm determinantul: \[ p(\lambda) = (2 - \lambda)(4 - \lambda) - (-1)(1) = (2 - \lambda)(4 - \lambda) + 1 \] Dezvoltăm produsul: \[ (2 - \lambda)(4 - \lambda) = 8 - 2\lambda - 4\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 \] Astfel, \[ p(\lambda) = \lambda^2 - 6\lambda + 8 + 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda - 3)^2 \] ### 3. Valorile proprii și multiplicitățile algebrice Valorile proprii sunt rădăcinile polinomului caracteristic: \[ \lambda = 3 \quad \text{cu multiplicitate algebrică} \ 2 \] ### 4. Subspațiile de vectori proprii și multiplicitățile geometrice Pentru a determina subspațiile de vectori proprii asociate valorii proprii \( \lambda = 3 \), rezolvăm ecuația \( (A - 3I)x = 0 \): \[ A - 3I = \begin{pmatrix} 2 - 3 & 1 \\ -1 & 4 - 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Sistemul de ecuații este: \[ - x_1 + x_2 = 0 \\ - x_1 + x_2 = 0 \\ \] Aceasta implică condiția \( x_1 = x_2 \). Subspațiul propriu este generat de vectorul \( (1, 1) \): \[ E_3 = \left\{ t \begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} \mid t \in \mathbf{R} \right\} \] Multiplicitatea geometrică a valorii proprii \( \lambda = 3 \) este \( 1 \). ### 5. Diagonalizarea operatorului \( A \) Un operator este diagonalizabil dacă pentru fiecare valoare proprie, multiplicitatea algebrică este egală cu multiplicitatea geometrică. În cazul nostru: - Valoare proprie \( \lambda = 3 \): multiplicitate algebrică \( 2 \), multiplicitate geometrică \( 1 \). Deoarece \( 2 \neq 1 \), operatorul \( A \) **nu este diagonalizabil**. ### **Concluzie** - **Matricea asociată operatorului \( A \) în baza canonică a lui \( \mathbf{R}^{2} \)** este: \[ M_A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \\ \end{pmatrix} \] - **Polinomul caracteristic** este \( p(\lambda) = (\lambda - 3)^2 \). - **Valoarea proprie** este \( \lambda = 3 \) cu **multiplicitate algebrică** 2. - **Subspațiul de vectori proprii** asociat este \( E_3 = \left\{ t(1,1) \mid t \in \mathbf{R} \right\} \) cu **multiplicitate geometrică** 1. - **Operatorul \( A \) nu este diagonalizabil**, deoarece multiplicitatea algebrică a valorii proprii \( \lambda = 3 \) nu este egală cu multiplicitatea geometrică.