Calculo el módulo de los vectores. $$ \vec{u}=[2 ;-1] ; \vec{v}=[-1 ;-1] ; \vec{w}=[1 ;-1] $$ $$ \vec{u}+\vec{v} $$ $$ \vec{u}-3 \vec{v}-\vec{w} $$ $$ \vec{u}-2 \vec{v}+\frac{1}{2} \vec{w} $$ $$ \vec{w} \cdot \vec{v} $$

Question

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Claro, vamos a calcular el módulo de los vectores dados y realizar las operaciones vectoriales solicitadas.

### Vectores Dados:
- $$ \vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix} $$
- $$ \vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \ -1 \end{bmatrix} $$
- $$ \vec{w} = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix} $$

### Cálculo de los Módulos de los Vectores:

El módulo (o magnitud) de un vector $$ \vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \end{bmatrix} $$ se calcula utilizando la fórmula:
$$
\| \vec{a} \| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
$$

1. **Módulo de $$ \vec{u} $$:**
$$
\| \vec{u} \| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236
$$

2. **Módulo de $$ \vec{v} $$:**
$$
\| \vec{v} \| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.414
$$

3. **Módulo de $$ \vec{w} $$:**
$$
\| \vec{w} \| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.414
$$

### Operaciones Vectoriales:

1. **Suma de $$ \vec{u} + \vec{v} $$:**
$$
\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + (-1) \ -1 + (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ -2 \end{bmatrix}
$$
**Módulo de $$ \vec{u} + \vec{v} $$:**
$$
\| \vec{u} + \vec{v} \| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.236
$$

2. **Combinación Lineal $$ \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} $$:**
$$
\vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} = \begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} -1 \ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}
$$
$$
= \begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 3 - 1 \ -1 + 3 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 3 \end{bmatrix}
$$
**Módulo de $$ \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} $$:**
$$
\| \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} \| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
$$

3. **Combinación Lineal $$ \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} $$:**
$$
\vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} = \begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} -1 \ -1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}
$$
$$
= \begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.5 \ -0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 2 + 0.5 \ -1 + 2 - 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.5 \ 0.5 \end{bmatrix}
$$
**Módulo de $$ \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} $$:**
$$
\| \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} \| = \sqrt{4.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{20.25 + 0.25} = \sqrt{20.5} \approx 4.528
$$

4. **Producto Punto $$ \vec{w} \cdot \vec{v} $$:**
$$
\vec{w} \cdot \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \ -1 \end{bmatrix} = (1)(-1) + (-1)(-1) = -1 + 1 = 0
$$

### Resumen de Resultados:

- **Módulos de los Vectores Iniciales:**
  - $$ \| \vec{u} \| = \sqrt{5} \approx 2.236 $$
  - $$ \| \vec{v} \| = \sqrt{2} \approx 1.414 $$
  - $$ \| \vec{w} \| = \sqrt{2} \approx 1.414 $$

- **Operaciones Vectoriales:**
  1. $$ \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \ -2 \end{bmatrix} $$, $$ \| \vec{u} + \vec{v} \| = \sqrt{5} \approx 2.236 $$
  2. $$ \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} = \begin{bmatrix} 4 \ 3 \end{bmatrix} $$, $$ \| \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} \| = 5 $$
  3. $$ \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} = \begin{bmatrix} 4.5 \ 0.5 \end{bmatrix} $$, $$ \| \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} \| \approx 4.528 $$
  4. Producto punto: $$ \vec{w} \cdot \vec{v} = 0 $$
Claro, aquí tienes los resultados simplificados: - **Módulos de los Vectores:** - $$ \vec{u} $$: $$ \sqrt{5} $$ (aproximadamente 2.236) - $$ \vec{v} $$: $$ \sqrt{2} $$ (aproximadamente 1.414) - $$ \vec{w} $$: $$ \sqrt{2} $$ (aproximadamente 1.414) - **Operaciones Vectoriales:** 1. $$ \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \ -2 \end{bmatrix} $$, Módulo $$ \sqrt{5} $$ (aproximadamente 2.236) 2. $$ \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} = \begin{bmatrix} 4 \ 3 \end{bmatrix} $$, Módulo 5 3. $$ \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} = \begin{bmatrix} 4.5 \ 0.5 \end{bmatrix} $$, Módulo $$ \sqrt{20.5} $$ (aproximadamente 4.528) 4. $$ \vec{w} \cdot \vec{v} = 0 $$ Espero que esto te sea útil.

Calculo el módulo de los vectores.

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