Calculo el módulo de los vectores. \( \vec{u}=[2 ;-1] ; \vec{v}=[-1 ;-1] ; \vec{w}=[1 ;-1] \) \( \vec{u}+\vec{v} \) \( \vec{u}-3 \vec{v}-\vec{w} \) \( \vec{u}-2 \vec{v}+\frac{1}{2} \vec{w} \) \( \vec{w} \cdot \vec{v} \)

Claro, vamos a calcular el módulo de los vectores dados y realizar las operaciones vectoriales solicitadas. ### Vectores Dados: - \( \vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \) - \( \vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} \) - \( \vec{w} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) ### Cálculo de los Módulos de los Vectores: El módulo (o magnitud) de un vector \( \vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} \) se calcula utilizando la fórmula: \[ \| \vec{a} \| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] 1. **Módulo de \( \vec{u} \):** \[ \| \vec{u} \| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236 \] 2. **Módulo de \( \vec{v} \):** \[ \| \vec{v} \| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.414 \] 3. **Módulo de \( \vec{w} \):** \[ \| \vec{w} \| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.414 \] ### Operaciones Vectoriales: 1. **Suma de \( \vec{u} + \vec{v} \):** \[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + (-1) \\ -1 + (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \] **Módulo de \( \vec{u} + \vec{v} \):** \[ \| \vec{u} + \vec{v} \| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.236 \] 2. **Combinación Lineal \( \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} \):** \[ \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \] \[ = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 3 - 1 \\ -1 + 3 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} \] **Módulo de \( \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} \):** \[ \| \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} \| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 3. **Combinación Lineal \( \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} \):** \[ \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \] \[ = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 2 + 0.5 \\ -1 + 2 - 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} \] **Módulo de \( \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} \):** \[ \| \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} \| = \sqrt{4.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{20.25 + 0.25} = \sqrt{20.5} \approx 4.528 \] 4. **Producto Punto \( \vec{w} \cdot \vec{v} \):** \[ \vec{w} \cdot \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} = (1)(-1) + (-1)(-1) = -1 + 1 = 0 \] ### Resumen de Resultados: - **Módulos de los Vectores Iniciales:** - \( \| \vec{u} \| = \sqrt{5} \approx 2.236 \) - \( \| \vec{v} \| = \sqrt{2} \approx 1.414 \) - \( \| \vec{w} \| = \sqrt{2} \approx 1.414 \) - **Operaciones Vectoriales:** 1. \( \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \), \( \| \vec{u} + \vec{v} \| = \sqrt{5} \approx 2.236 \) 2. \( \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} \), \( \| \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} \| = 5 \) 3. \( \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} = \begin{bmatrix} 4.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} \), \( \| \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} \| \approx 4.528 \) 4. Producto punto: \( \vec{w} \cdot \vec{v} = 0 \)