Calculo el módulo de los vectores. \( \vec{u}=[2 ;-1] ; \vec{v}=[-1 ;-1] ; \vec{w}=[1 ;-1] \) \( \vec{u}+\vec{v} \) \( \vec{u}-3 \vec{v}-\vec{w} \) \( \vec{u}-2 \vec{v}+\frac{1}{2} \vec{w} \) \( \vec{w} \cdot \vec{v} \)

Para calcular el módulo de los vectores, usamos la fórmula \( ||\vec{a}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \). Así, el módulo de \( \vec{u} = [2; -1] \) es \( ||\vec{u}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \). Para \( \vec{v} = [-1; -1] \), el módulo es \( ||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \), y para \( \vec{w} = [1; -1] \), tenemos \( ||\vec{w}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \). Si sumamos los vectores \( \vec{u} + \vec{v} \), obtenemos \( [2; -1] + [-1; -1] = [1; -2] \). Para \( \vec{u} - 3\vec{v} - \vec{w} \), realizamos la operación: \( \vec{u} - 3[-1; -1] - [1; -1] = [2; -1] - [-3; -3] - [1; -1] = [2 + 3 - 1; -1 + 3 + 1] = [4; 3] \). Finalmente, \( \vec{u} - 2\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w} = [2; -1] - 2[-1; -1] + \frac{1}{2}[1; -1] = [2 + 2 + \frac{1}{2}; -1 + 2 - \frac{1}{2}] = [4.5; 0] \). Para el producto punto \( \vec{w} \cdot \vec{v} \), calculamos: \( [1; -1] \cdot [-1; -1] = (1)(-1) + (-1)(-1) = -1 + 1 = 0 \). ¡Los vectores son ortogonales!