2,0 pontos): Determine a seguinte equaçāo: $$ \sqrt[x]{16^{x+1}}=32^{x-3} $$

Question

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Para resolver a equação

$$
\sqrt[x]{16^{x+1}} = 32^{x-3},
$$

vamos reescrever as potências em termos de potências de 2.

Sabemos que:

$$
16 = 2^4 \quad \text{e} \quad 32 = 2^5.
$$

Assim, podemos reescrever a equação:

$$
\sqrt[x]{(2^4)^{x+1}} = (2^5)^{x-3}.
$$

Simplificando a esquerda:

$$
\sqrt[x]{(2^4)^{x+1}} = (2^4)^{\frac{1}{x}(x+1)} = 2^{\frac{4(x+1)}{x}} = 2^{4 + \frac{4}{x}}.
$$

Agora, simplificando a direita:

$$
(2^5)^{x-3} = 2^{5(x-3)} = 2^{5x - 15}.
$$

Agora temos a equação:

$$
2^{4 + \frac{4}{x}} = 2^{5x - 15}.
$$

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

$$
4 + \frac{4}{x} = 5x - 15.
$$

Multiplicando toda a equação por $$x$$ para eliminar a fração:

$$
4x + 4 = 5x^2 - 15x.
$$

Rearranjando a equação:

$$
5x^2 - 15x - 4x - 4 = 0,
$$

ou seja,

$$
5x^2 - 19x - 4 = 0.
$$

Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
$$

onde $$a = 5$$, $$b = -19$$ e $$c = -4$$.

Calculando o discriminante:

$$
b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 361 + 80 = 441.
$$

Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara:

$$
x = \frac{19 \pm \sqrt{441}}{10} = \frac{19 \pm 21}{10}.
$$

Isso nos dá duas soluções:

1. $$x = \frac{40}{10} = 4$$,
2. $$x = \frac{-2}{10} = -0,2$$.

Portanto, as soluções da equação são:

$$
x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -0,2.
$$
As soluções da equação são $$x = 4$$ ou $$x = -0,2$$.

2,0 pontos): Determine a seguinte equaçāo: