8. ¿Hay algún valor de la constante $$ c $$ dc mancra que $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc}8 x-c & ext { si } x

Question

8. ¿Hay algún valor de la constante $$ c $$ dc mancra que $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc}8 x-c & 	ext { si } x<1 \ c^{2} x^{2}+2 & 	ext { si } x \geq 1\end{array}ight. $$ resulte derivable en $$ x=1 $$ ? Si sn respuesta es afirmativa, indique cuál es el valor de $$ c $$ justificando su elección. Si su respuesta es negativa, indique por qué.

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Para que la función $$ f(x) $$ sea derivable en $$ x = 1 $$, deben cumplirse dos condiciones fundamentales:

1. **Continuidad en $$ x = 1 $$**:
   
   La función debe ser continua en $$ x = 1 $$, lo que implica que el límite por la izquierda debe ser igual al límite por la derecha y al valor de la función en ese punto.

$$
   \lim_{x \to 1^-} f(x) = 8(1) - c = 8 - c
   $$
   
   $$
   f(1) = c^2(1)^2 + 2 = c^2 + 2
   $$
   
   Para la continuidad:
   
   $$
   8 - c = c^2 + 2 \
   \Rightarrow c^2 + c - 6 = 0
   $$
   
   Resolviendo la ecuación cuadrática:
   
   $$
   c = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}
   $$
   
   Las soluciones son $$ c = 2 $$ y $$ c = -3 $$.

2. **Igualdad de las derivadas por la izquierda y por la derecha en $$ x = 1 $$**:
   
   Calculamos las derivadas de las dos ramas de $$ f(x) $$:
   
   - Para $$ x < 1 $$:
     $$
     f(x) = 8x - c \
     f'(x) = 8
     $$
   
   - Para $$ x \geq 1 $$:
     $$
     f(x) = c^2x^2 + 2 \
     f'(x) = 2c^2x
     $$
   
   Evaluando la derivada por la derecha en $$ x = 1 $$:
   
   $$
   f'(1) = 2c^2(1) = 2c^2
   $$
   
   Para la derivabilidad, las derivadas deben coincidir:
   
   $$
   8 = 2c^2 \
   \Rightarrow c^2 = 4 \
   \Rightarrow c = \pm 2
   $$
   
   Ahora, debemos encontrar el valor de $$ c $$ que satisface **ambas** condiciones (continuidad y derivabilidad):
   
   - De la continuidad, $$ c = 2 $$ o $$ c = -3 $$.
   - De las derivadas, $$ c = 2 $$ o $$ c = -2 $$.
   
   El único valor común que satisface ambas condiciones es $$ c = 2 $$.

**Conclusión:** Existe un valor de la constante $$ c $$ que hace que $$ f(x) $$ sea derivable en $$ x = 1 $$, y ese valor es $$ c = 2 $$.
Para que la función $$ f(x) $$ sea derivable en $$ x = 1 $$, la constante $$ c $$ debe ser 2.

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