8. ¿Hay algún valor de la constante \( c \) dc mancra que \( f(x)=\left\{\begin{array}{cc}8 x-c & \text { si } x<1 \\ c^{2} x^{2}+2 & \text { si } x \geq 1\end{array}\right. \) resulte derivable en \( x=1 \) ? Si sn respuesta es afirmativa, indique cuál es el valor de \( c \) justificando su elección. Si su respuesta es negativa, indique por qué.

Para que la función \( f(x) \) sea derivable en \( x=1 \), primero debe ser continua en ese punto. Esto significa que los límites laterales al aproximarnos a \( x=1 \) deben ser iguales al valor de la función en \( x=1 \). Evaluando desde la izquierda: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 8(1) - c = 8 - c. \] Evaluando desde la derecha y en \( x=1 \): \[ f(1) = c^2(1)^2 + 2 = c^2 + 2. \] Igualando los dos resultados para la continuidad: \[ 8 - c = c^2 + 2. \] Reorganizando la ecuación, obtenemos: \[ c^2 + c - 6 = 0. \] Factorizando: \[ (c - 2)(c + 3) = 0 \Rightarrow c = 2 \text{ o } c = -3. \] Ahora, para que \( f(x) \) sea derivable, ambas derivadas laterales también deben coincidir. Calculamos las derivadas: - Desde la izquierda: \[ f'(x) = 8 \rightarrow f'(1^-) = 8. \] - Desde la derecha: \[ f'(x) = 2c x \rightarrow f'(1^+) = 2c. \] Igualamos: \[ 2c = 8 \Rightarrow c = 4. \] Sin embargo, \( c = 4 \) no satisface la igualdad de continuidad inicialmente encontrada. Por tanto, al examinar ambos casos, concluimos que no hay un único valor de \( c \) que haga que \( f(x) \) sea derivable en \( x=1 \). La continuidad y derivabilidad no pueden cumplirse simultáneamente con un solo valor de \( c \).