4. Al aplicar las propiedades para este $$ \lim _{ ext {ite }} \lim _{x ightarrow \infty} \sqrt{\frac{5}{2 x^{2}-1}} $$, al evaluarlo su resultado es: a. $$ \frac{5}{2} $$. b. 0 . c. $$ \frac{1}{2} $$ d. 2 . 5. Para resolver el límite $$ \lim _{x ightarrow \infty} \sqrt{4 x^{2}+x}-2 x $$, luego de evaluar el límite el paso que continua debe ser: a. Dividir cada término del radical por la variable de mayor exponente. b. Factorizar la cantidad subradical. c. Multiplicar y dividir por la conjugada de la función. d. Dividir por la conjugada de la función.

Question

4. Al aplicar las propiedades para este $$ \lim _{	ext {ite }} \lim _{x ightarrow \infty} \sqrt{\frac{5}{2 x^{2}-1}} $$, al evaluarlo su resultado es: a. $$ \frac{5}{2} $$. b. 0 . c. $$ \frac{1}{2} $$ d. 2 . 5. Para resolver el límite $$ \lim _{x ightarrow \infty} \sqrt{4 x^{2}+x}-2 x $$, luego de evaluar el límite el paso que continua debe ser: a. Dividir cada término del radical por la variable de mayor exponente. b. Factorizar la cantidad subradical. c. Multiplicar y dividir por la conjugada de la función. d. Dividir por la conjugada de la función.

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Evaluate the limit by following steps:
- step0: Evaluate the limit:
  $$\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{\frac{5}{2x^{2}-1}}\right)$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\sqrt{\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{5}{2x^{2}-1}\right)}$$
- step2: Calculate:
  $$\sqrt{0}$$
- step3: Simplify the root:
  $$0$$
Calculate the limit $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{4 x^{2}+x}-2 x $$.
Evaluate the limit by following steps:
- step0: Evaluate using transformations:
  $$\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{4x^{2}+x}-2x\right)$$
- step1: Multiply by the Conjugate:
  $$\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{4x^{2}+x}+2x}\right)$$
- step2: Rearrange the terms:
  $$\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{1\times x}{\left(\sqrt{4+\frac{1}{x}}+2\right)x}\right)$$
- step3: Reduce the fraction:
  $$\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}}+2}\right)$$
- step4: Rewrite the expression:
  $$\frac{\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(1\right)}{\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{4+\frac{1}{x}}+2\right)}$$
- step5: Evaluate:
  $$\frac{1}{\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{4+\frac{1}{x}}+2\right)}$$
- step6: Evaluate:
  $$\frac{1}{4}$$
Para resolver los límites planteados, procedamos paso a paso:

### 4. Evaluación del límite $$ \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{5}{2 x^{2}-1}} $$

1. **Identificación de la expresión**: La expresión es $$ \sqrt{\frac{5}{2 x^{2}-1}} $$.
2. **Evaluación del límite**: A medida que $$ x $$ tiende a infinito, el término $$ 2x^2 - 1 $$ se comporta como $$ 2x^2 $$, ya que el $$ -1 $$ se vuelve insignificante en comparación con $$ 2x^2 $$.
3. **Simplificación**:
   $$
   \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{5}{2 x^{2}-1}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{5}{2 x^{2}}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0
   $$

Por lo tanto, el resultado es **0**.

### 5. Evaluación del límite $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{4 x^{2}+x}-2 x $$

1. **Identificación de la expresión**: La expresión es $$ \sqrt{4 x^{2}+x}-2 x $$.
2. **Evaluación del límite**: Para simplificar, podemos reescribir la expresión:
   $$
   \sqrt{4 x^{2}+x} - 2x = \frac{(4x^2 + x) - (2x)^2}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \frac{x}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}
   $$
3. **División por la variable de mayor exponente**: Al evaluar el límite, es útil dividir cada término dentro del radical por $$ x^2 $$:
   $$
   \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{4 + 2} = \frac{1}{6}
   $$

Sin embargo, el paso que se debe seguir después de la evaluación del límite es **dividir cada término del radical por la variable de mayor exponente**.

### Respuestas finales:
4. La respuesta es **b. 0**.
5. El paso que continúa debe ser **a. Dividir cada término del radical por la variable de mayor exponente**.
4. La respuesta es **b. 0**. 5. El paso siguiente es **a. Dividir cada término del radical por la variable de mayor exponente**.

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