Define cyclic group and show that $$ \mathrm{U}_{9} $$ is a cyclic group. चक्रीय समूह को परिभाषित कीजिए और दिखाइए कि $$ \mathrm{U}_{9} $$ एक चक्रीय समूह है। Define subring of a ring and prove that intersection of two subrings is again a subring. एक रिंग के सबरिंग को परिभाषित कीजिए और साबित कीजिए कि दो सबरिंग का प्रतिच्छेदन फिर से एक सबरिंग है।

Question

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### 1. **Cyclic Group: Definition and $$ \mathrm{U}_9 $$ is a Cyclic Group**

**Definition:**
A *cyclic group* is a group that can be generated by a single element. In other words, a group $$ G $$ is cyclic if there exists an element $$ g \in G $$ such that every element in $$ G $$ can be written as $$ g^n $$ for some integer $$ n $$. Formally,
$$ G = \langle g \rangle = \{ g^n \mid n \in \mathbb{Z} \} $$
If the group is finite of order $$ n $$, then $$ g $$ is said to be a generator and satisfies $$ g^n = e $$, where $$ e $$ is the identity element.

**Showing that $$ \mathrm{U}_9 $$ is a Cyclic Group:**

The group $$ \mathrm{U}_9 $$ refers to the multiplicative group of units modulo 9. That is,
$$ \mathrm{U}_9 = \{ [1], [2], [4], [5], [7], [8] \} $$
with the operation being multiplication modulo 9.

**Step 1: Determine the Order of $$ \mathrm{U}_9 $$**
The order of $$ \mathrm{U}_9 $$ is $$ \phi(9) = 6 $$, where $$ \phi $$ is Euler's totient function.

**Step 2: Find a Generator**
To show that $$ \mathrm{U}_9 $$ is cyclic, we need to find an element of order 6.

Let's check the orders:

- $$ [2]^1 = [2] $$
- $$ [2]^2 = [4] $$
- $$ [2]^3 = [8] $$
- $$ [2]^4 = [7] $$
- $$ [2]^5 = [5] $$
- $$ [2]^6 = [1] $$

Since $$ [2]^6 = [1] $$ and no smaller positive integer $$ m < 6 $$ satisfies $$ [2]^m = [1] $$, the order of $$ [2] $$ is 6. Therefore, $$ [2] $$ is a generator of $$ \mathrm{U}_9 $$.

**Conclusion:**
$$ \mathrm{U}_9 $$ is a cyclic group of order 6, generated by $$ [2] $$. Thus,
$$ \mathrm{U}_9 = \langle [2] \rangle $$

---

### 2. **चक्रीय समूह का परिभाषा और $$ \mathrm{U}_9 $$ का चक्रीय समूह होना**

**परिभाषा:**
*चक्रीय समूह* एक ऐसा समूह होता है जिसे एकल तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। अर्थात्, अगर एक समूह $$ G $$ में ऐसा कोई तत्व $$ g \in G $$ मौजूद है कि प्रत्येक तत्व $$ G $$ में $$ g^n $$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $$ n $$ कोई पूर्णांक है), तो $$ G $$ को चक्रीय समूह कहा जाता है। औपचारिक रूप से,
$$ G = \langle g \rangle = \{ g^n \mid n \in \mathbb{Z} \} $$
यदि समूह सीमित क्रम (ऑर्डर) का हो, जो $$ n $$ है, तो $$ g $$ को जनरेटर कहा जाता है और यह संतोषजनक है कि $$ g^n = e $$, जहाँ $$ e $$ पहचान तत्व है।

**दिखाना कि $$ \mathrm{U}_9 $$ एक चक्रीय समूह है:**

समूह $$ \mathrm{U}_9 $$ मोड्यूलो 9 के मातहत के यूनिट्स का गुणन समूह है। अर्थात्,
$$ \mathrm{U}_9 = \{ [1], [2], [4], [5], [7], [8] \} $$
जिसमें ऑपरेशन गुणन है, मोड्यूलो 9 के तहत।

**चरण 1: $$ \mathrm{U}_9 $$ का क्रम ज्ञात करें**
$$ \mathrm{U}_9 $$ का क्रम $$ \phi(9) = 6 $$ है, जहाँ $$ \phi $$ ओयलर का टोटिएंट फंक्शन है।

**चरण 2: एक जनरेटर खोजें**
यह दिखाने के लिए कि $$ \mathrm{U}_9 $$ चक्रीय है, हमें किसी ऐसे तत्व को खोजना होगा जिसका ऑर्डर 6 हो।

आइए ऑर्डरों की जाँच करें:

- $$ [2]^1 = [2] $$
- $$ [2]^2 = [4] $$
- $$ [2]^3 = [8] $$
- $$ [2]^4 = [7] $$
- $$ [2]^5 = [5] $$
- $$ [2]^6 = [1] $$

चूंकि $$ [2]^6 = [1] $$ और कोई छोटा धनात्मक पूर्णांकीय $$ m < 6 $$ ऐसा नहीं है कि $$ [2]^m = [1] $$, इसलिए $$ [2] $$ का ऑर्डर 6 है। अतः, $$ [2] $$ $$ \mathrm{U}_9 $$ का जनरेटर है।

**निष्कर्ष:**
$$ \mathrm{U}_9 $$ क्रम 6 का चक्रीय समूह है, जिसे $$ [2] $$ द्वारा उत्पन्न किया गया है। इसलिए,
$$ \mathrm{U}_9 = \langle [2] \rangle $$

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### 3. **Subring of a Ring and Intersection of Two Subrings is a Subring**

**Definition of a Subring:**
Let $$ R $$ be a ring. A *subring* $$ S $$ of $$ R $$ is a subset of $$ R $$ that is itself a ring with the inherited operations from $$ R $$. Formally, $$ S \subseteq R $$ is a subring if:

1. **Non-Empty:** $$ S $$ is non-empty.
2. **Closed under Subtraction:** For all $$ a, b \in S $$, $$ a - b \in S $$.
3. **Closed under Multiplication:** For all $$ a, b \in S $$, $$ a \cdot b \in S $$.

*Note:* Some definitions also require that $$ S $$ contains the multiplicative identity of $$ R $$ if $$ R $$ is unital, but this is not always assumed.

**Proof that the Intersection of Two Subrings is a Subring:**

Let $$ S_1 $$ and $$ S_2 $$ be subrings of a ring $$ R $$. We want to show that $$ S = S_1 \cap S_2 $$ is also a subring of $$ R $$.

**1. Non-Empty:**
Since $$ S_1 $$ and $$ S_2 $$ are subrings, both contain the additive identity $$ 0 $$ of $$ R $$. Therefore, $$ 0 \in S_1 \cap S_2 = S $$, so $$ S $$ is non-empty.

**2. Closed under Subtraction:**
Take any $$ a, b \in S $$. Then $$ a \in S_1 $$ and $$ a \in S_2 $$, and similarly $$ b \in S_1 $$ and $$ b \in S_2 $$.

Since $$ S_1 $$ and $$ S_2 $$ are subrings, $$ a - b \in S_1 $$ and $$ a - b \in S_2 $$. Therefore, $$ a - b \in S_1 \cap S_2 = S $$.

**3. Closed under Multiplication:**
Take any $$ a, b \in S $$. Then $$ a, b \in S_1 $$ and $$ a, b \in S_2 $$.

Since $$ S_1 $$ and $$ S_2 $$ are subrings, $$ a \cdot b \in S_1 $$ and $$ a \cdot b \in S_2 $$. Therefore, $$ a \cdot b \in S_1 \cap S_2 = S $$.

**Conclusion:**
$$ S = S_1 \cap S_2 $$ satisfies all the properties of a subring. Hence, the intersection of two subrings of $$ R $$ is itself a subring of $$ R $$.

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### 4. **रिंग के सबरिंग और दो सबरिंगों के प्रतिच्छेदन का सबरिंग होना**

**रिंग के सबरिंग की परिभाषा:**
मान लीजिए $$ R $$ एक रिंग है। $$ R $$ का एक *सबरिंग* $$ S $$ $$ R $$ का ऐसा उपसमूह होता है जो स्वयं एक रिंग है, और $$ S $$ पर सूचीबद्ध ऑपरेशन्स $$ R $$ के विरासत में प्राप्त ऑपरेशन्स होते हैं। औपचारिक रूप से, $$ S \subseteq R $$ एक सबरिंग है यदि:

1. **गैर-खाली:** $$ S $$ गैर-खाली है।
2. **घटाव के तहत क्लोज़्ड:** सभी $$ a, b \in S $$ के लिए $$ a - b \in S $$।
3. **गुणन के तहत क्लोज़्ड:** सभी $$ a, b \in S $$ के लिए $$ a \cdot b \in S $$।

*नोट:* कुछ परिभाषाओं में यह भी शर्त होती है कि यदि $$ R $$ में गुणन के लिए पहचान तत्व है, तो $$ S $$ में भी होना चाहिए, लेकिन यह हमेशा आवश्यक नहीं होता।

**सिद्धांत: दो सबरिंगों के प्रतिच्छेदन का सबरिंग होना:**

मान लीजिए $$ S_1 $$ और $$ S_2 $$ $$ R $$ के दो सबरिंग हैं। हमें यह दिखाना है कि $$ S = S_1 \cap S_2 $$ भी $$ R $$ का एक सबरिंग है।

**1. गैर-खाली:**
क्योंकि $$ S_1 $$ और $$ S_2 $$ दोनों सबरिंग हैं, दोनों में रिंग के एडिटिव आइडेंटिटी $$ 0 $$ होता है। इसलिए, $$ 0 \in S_1 \cap S_2 = S $$। अतः, $$ S $$ गैर-खाली है।

**2. घटाव के तहत क्लोज़्ड:**
मान लें $$ a, b \in S $$। तो $$ a \in S_1 $$ और $$ a \in S_2 $$, तथा $$ b \in S_1 $$ और $$ b \in S_2 $$।

क्योंकि $$ S_1 $$ और $$ S_2 $$ सबरिंग हैं, $$ a - b \in S_1 $$ और $$ a - b \in S_2 $$। अतः, $$ a - b \in S_1 \cap S_2 = S $$।

**3. गुणन के तहत क्लोज़्ड:**
मान लें $$ a, b \in S $$। तो $$ a, b \in S_1 $$ और $$ a, b \in S_2 $$।

क्योंकि $$ S_1 $$ और $$ S_2 $$ सबरिंग हैं, $$ a \cdot b \in S_1 $$ और $$ a \cdot b \in S_2 $$। अतः, $$ a \cdot b \in S_1 \cap S_2 = S $$।

**निष्कर्ष:**
$$ S = S_1 \cap S_2 $$ सभी सबरिंग गुणों को संतुष्ट करता है। अतः, दो सबरिंगों का प्रतिच्छेदन भी $$ R $$ का एक सबरिंग है।
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