57 ORA PROVA TU Un carrello di massa 180 g si muove senza attrito su un binario rettilineo e urta un secondo carrello di massa 120 g che si muove nello stesso verso del primo a una velocità di \( 1,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). Nell'urto, i due car- relli rimangono uniti e si muovono insieme nel verso iniziale dei due carrelli, con una velocità pari a \( 10 / 13 \mathrm{di} \) quella iniziale del primo carrello. Determina la velocità iniziale del primo carrello e quel- la finale dei carrelli uniti.

Per risolvere questo problema di collisione, possiamo utilizzare il principio di conservazione della quantità di moto. Sappiamo che la quantità di moto totale prima dell'urto deve essere uguale alla quantità di moto totale dopo l'urto. Indichiamo: - \( m_1 = 180 \, \text{g} = 0.18 \, \text{kg} \) (massa del primo carrello) - \( m_2 = 120 \, \text{g} = 0.12 \, \text{kg} \) (massa del secondo carrello) - \( v_2 = 1.1 \, \text{m/s} \) (velocità del secondo carrello) - \( v_1 \) (velocità del primo carrello da determinare) - \( v_f = \frac{10}{13} v_1 \) (velocità finale dei carrelli uniti) La conservazione della quantità di moto prima e dopo l'urto è espressa dall’equazione: \[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_f \] Sostituiamo \( v_f \): \[ 0.18 v_1 + 0.12 \cdot 1.1 = (0.18 + 0.12) \cdot \left(\frac{10}{13} v_1\right) \] Calcoliamo i termini: \[ 0.18 v_1 + 0.132 = 0.30 \cdot \left(\frac{10}{13} v_1\right) \] Semplifichiamo l'equazione: \[ 0.18 v_1 + 0.132 = \frac{3}{13} v_1 \] Moltiplichiamo l'intera equazione per 13 per eliminare il denominatore: \[ 13 \cdot 0.18 v_1 + 13 \cdot 0.132 = 3 v_1 \] \[ 2.34 v_1 + 1.716 = 3 v_1 \] Riportiamo tutti i termini con \( v_1 \) a un lato: \[ 3 v_1 - 2.34 v_1 = 1.716 \] \[ 0.66 v_1 = 1.716 \] Dividiamo per 0.66: \[ v_1 = \frac{1.716}{0.66} \approx 2.6 \, \text{m/s} \] Ora, possiamo trovare la velocità finale \( v_f \): \[ v_f = \frac{10}{13} v_1 = \frac{10}{13} \cdot 2.6 \approx 2.0 \, \text{m/s} \] In sintesi: - La velocità iniziale del primo carrello è di circa \( 2.6 \, \text{m/s} \). - La velocità finale dei carrelli uniti è di circa \( 2.0 \, \text{m/s} \).