36. Duas particulas, \( A \) e \( B \), partem de um mesmo ponto \( P_{0} \) em uma trajetoria circular de raio \( R=2,0 \mathrm{~m} \) com movimentos uniformes e periodos \( T_{A}=8,0 \mathrm{~s} \) e \( T_{B}=12,0 \mathrm{~s} \), caminhando em sentidos opostos. Calcule: al o módulo da velocidade linear de cada particula, adotando-se \( \pi=3 \) orr: b) o módulo da velocidade escalar relativa entre as particulas. c) o periodo de encontros na posição \( P_{0} \) d) o periodo de encontros em qualquer posiçāo.

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo. **Dados:** - Raio da trajetória: \( R = 2,0\, \text{m} \) - Período da partícula \( A \): \( T_A = 8,0\, \text{s} \) - Período da partícula \( B \): \( T_B = 12,0\, \text{s} \) - \( \pi = 3 \) --- ### a) Módulo da velocidade linear de cada partícula A velocidade linear (\( v \)) de uma partícula em movimento circular uniforme é dada por: \[ v = \frac{2\pi R}{T} \] **Para a partícula \( A \):** \[ v_A = \frac{2 \times 3 \times 2,0\, \text{m}}{8,0\,\text{s}} = \frac{12\,\text{m}}{8\,\text{s}} = 1,5\,\text{m/s} \] **Para a partícula \( B \):** \[ v_B = \frac{2 \times 3 \times 2,0\, \text{m}}{12,0\,\text{s}} = \frac{12\,\text{m}}{12\,\text{s}} = 1,0\,\text{m/s} \] **Resposta:** - Velocidade de \( A \): \( 1,5\,\text{m/s} \) - Velocidade de \( B \): \( 1,0\,\text{m/s} \) --- ### b) Módulo da velocidade escalar relativa entre as partículas Como as partículas estão se movendo em **sentidos opostos**, a velocidade relativa escalar (\( v_{\text{rel}} \)) é a soma das velocidades individuais: \[ v_{\text{rel}} = v_A + v_B = 1,5\,\text{m/s} + 1,0\,\text{m/s} = 2,5\,\text{m/s} \] **Resposta:** - Velocidade relativa: \( 2,5\,\text{m/s} \) --- ### c) Período de encontros na posição \( P_{0} \) Para que ambas as partículas voltem a se encontrar no ponto de partida \( P_{0} \), o tempo deve ser um múltiplo comum dos períodos \( T_A \) e \( T_B \). Ou seja, precisamos encontrar o **mínimo múltiplo comum (MMC)** de 8 s e 12 s. **Cálculo do MMC:** \[ \text{MMC}(8, 12) = 24\,\text{s} \] **Resposta:** - Período de encontros em \( P_{0} \): \( 24\,\text{s} \) --- ### d) Período de encontros em qualquer posição Para encontros em qualquer posição ao longo da trajetória circular, consideramos a **velocidade angular relativa** das partículas. Primeiro, calculamos as velocidades angulares individuais (\( \omega \)): \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \] **Para \( A \):** \[ \omega_A = \frac{6}{8} = 0,75\,\text{rad/s} \] **Para \( B \):** \[ \omega_B = \frac{6}{12} = 0,5\,\text{rad/s} \] Como estão em sentidos opostos, a velocidade angular relativa (\( \omega_{\text{rel}} \)) é a soma das duas: \[ \omega_{\text{rel}} = \omega_A + \omega_B = 0,75 + 0,5 = 1,25\,\text{rad/s} \] O período relativo (\( T_{\text{rel}} \)) é dado por: \[ T_{\text{rel}} = \frac{2\pi}{\omega_{\text{rel}}} = \frac{6}{1,25} = 4,8\,\text{s} \] **Resposta:** - Período de encontros em qualquer posição: \( 4,8\,\text{s} \) --- **Resumo das Respostas:** - **a)** Velocidades: \( v_A = 1,5\,\text{m/s} \); \( v_B = 1,0\,\text{m/s} \) - **b)** Velocidade relativa: \( 2,5\,\text{m/s} \) - **c)** Período de encontros em \( P_{0} \): \( 24\,\text{s} \) - **d)** Período de encontros em qualquer posição: \( 4,8\,\text{s} \)