36. Duas particulas, $$ A $$ e $$ B $$, partem de um mesmo ponto $$ P_{0} $$ em uma trajetoria circular de raio $$ R=2,0 \mathrm{~m} $$ com movimentos uniformes e periodos $$ T_{A}=8,0 \mathrm{~s} $$ e $$ T_{B}=12,0 \mathrm{~s} $$, caminhando em sentidos opostos. Calcule: al o módulo da velocidade linear de cada particula, adotando-se $$ \pi=3 $$ orr: b) o módulo da velocidade escalar relativa entre as particulas. c) o periodo de encontros na posição $$ P_{0} $$ d) o periodo de encontros em qualquer posiçāo.

Question

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Vamos resolver cada parte do problema passo a passo.

**Dados:**
- Raio da trajetória: $$ R = 2,0\, \text{m} $$
- Período da partícula $$ A $$: $$ T_A = 8,0\, \text{s} $$
- Período da partícula $$ B $$: $$ T_B = 12,0\, \text{s} $$
- $$ \pi = 3 $$

---

### a) Módulo da velocidade linear de cada partícula

A velocidade linear ($$ v $$) de uma partícula em movimento circular uniforme é dada por:

$$
v = \frac{2\pi R}{T}
$$

**Para a partícula $$ A $$:**
$$
v_A = \frac{2 \times 3 \times 2,0\, \text{m}}{8,0\,\text{s}} = \frac{12\,\text{m}}{8\,\text{s}} = 1,5\,\text{m/s}
$$

**Para a partícula $$ B $$:**
$$
v_B = \frac{2 \times 3 \times 2,0\, \text{m}}{12,0\,\text{s}} = \frac{12\,\text{m}}{12\,\text{s}} = 1,0\,\text{m/s}
$$

**Resposta:**
- Velocidade de $$ A $$: $$ 1,5\,\text{m/s} $$
- Velocidade de $$ B $$: $$ 1,0\,\text{m/s} $$

---

### b) Módulo da velocidade escalar relativa entre as partículas

Como as partículas estão se movendo em **sentidos opostos**, a velocidade relativa escalar ($$ v_{\text{rel}} $$) é a soma das velocidades individuais:

$$
v_{\text{rel}} = v_A + v_B = 1,5\,\text{m/s} + 1,0\,\text{m/s} = 2,5\,\text{m/s}
$$

**Resposta:**
- Velocidade relativa: $$ 2,5\,\text{m/s} $$

---

### c) Período de encontros na posição $$ P_{0} $$

Para que ambas as partículas voltem a se encontrar no ponto de partida $$ P_{0} $$, o tempo deve ser um múltiplo comum dos períodos $$ T_A $$ e $$ T_B $$. Ou seja, precisamos encontrar o **mínimo múltiplo comum (MMC)** de 8 s e 12 s.

**Cálculo do MMC:**
$$
\text{MMC}(8, 12) = 24\,\text{s}
$$

**Resposta:**
- Período de encontros em $$ P_{0} $$: $$ 24\,\text{s} $$

---

### d) Período de encontros em qualquer posição

Para encontros em qualquer posição ao longo da trajetória circular, consideramos a **velocidade angular relativa** das partículas.

Primeiro, calculamos as velocidades angulares individuais ($$ \omega $$):

$$
\omega = \frac{2\pi}{T}
$$

**Para $$ A $$:**
$$
\omega_A = \frac{6}{8} = 0,75\,\text{rad/s}
$$

**Para $$ B $$:**
$$
\omega_B = \frac{6}{12} = 0,5\,\text{rad/s}
$$

Como estão em sentidos opostos, a velocidade angular relativa ($$ \omega_{\text{rel}} $$) é a soma das duas:

$$
\omega_{\text{rel}} = \omega_A + \omega_B = 0,75 + 0,5 = 1,25\,\text{rad/s}
$$

O período relativo ($$ T_{\text{rel}} $$) é dado por:

$$
T_{\text{rel}} = \frac{2\pi}{\omega_{\text{rel}}} = \frac{6}{1,25} = 4,8\,\text{s}
$$

**Resposta:**
- Período de encontros em qualquer posição: $$ 4,8\,\text{s} $$

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**Resumo das Respostas:**
- **a)** Velocidades: $$ v_A = 1,5\,\text{m/s} $$; $$ v_B = 1,0\,\text{m/s} $$
- **b)** Velocidade relativa: $$ 2,5\,\text{m/s} $$
- **c)** Período de encontros em $$ P_{0} $$: $$ 24\,\text{s} $$
- **d)** Período de encontros em qualquer posição: $$ 4,8\,\text{s} $$
**Respostas:** - **a)** Velocidade de $$ A $$: $$ 1,5\,\text{m/s} $$; Velocidade de $$ B $$: $$ 1,0\,\text{m/s} $$ - **b)** Velocidade relativa: $$ 2,5\,\text{m/s} $$ - **c)** Período de encontros em $$ P_{0} $$: $$ 24\,\text{s} $$ - **d)** Período de encontros em qualquer posição: $$ 4,8\,\text{s} $$

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