a) \( y=-x^{4} \)

Функция \( y = -x^{4} \) является четвертой степенью многочлена с отрицательным коэффициентом при старшем члене. Рассмотрим основные характеристики этой функции: 1. **Степень и вид функции:** - Это четвёртая степень полинома, что означает, что график функции будет иметь форму, напоминающую параболу, но с более выраженной симметрией и поведением. 2. **Коэффициент при старшем члене:** - Поскольку коэффициент при \( x^{4} \) отрицателен, график функции отражён относительно оси \( x \). Это приводит к тому, что "концы" графика стремятся вниз. 3. **Чётность функции:** - Функция является чётной, то есть удовлетворяет условию \( f(-x) = f(x) \). Это означает, что график симметричен относительно оси \( y \). 4. **Пересечения с осями:** - **Пересечение с осью \( y \):** При \( x = 0 \), \( y = 0 \). Следовательно, график проходит через начало координат. - **Пересечения с осью \( x \):** Также только в начале координат, так как \( -x^{4} = 0 \) только при \( x = 0 \). 5. **Экстремумы:** - **Максимум:** Функция достигает глобального максимума в точке \( x = 0 \), где \( y = 0 \). - **Минимумы:** Функция не имеет локальных минимумов, так как \( y \) убывает при удалении от нуля в обоих направлениях. 6. **Пределы функции:** - \( \lim\limits_{x \to \pm\infty} y = -\infty \). Это означает, что значения функции стремятся к минус бесконечности при больших положительных и отрицательных значениях \( x \). 7. **График функции:** - График напоминает перевёрнутую параболу, но с более выраженными краями из-за четвёртой степени. Он симметричен относительно оси \( y \) и имеет вершину в начале координат. 8. **Производные:** - **Первая производная:** \( y' = -4x^{3} \). Она равна нулю в точке \( x = 0 \), что соответствует максимуму. - **Вторая производная:** \( y'' = -12x^{2} \). Поскольку вторая производная отрицательна для всех \( x \neq 0 \), это подтверждает, что \( x = 0 \) является точкой максимума. В целом, функция \( y = -x^{4} \) представляет собой чётную функцию с глобальным максимумом в начале координат и убывающими значениями при стремлении \( x \) к бесконечности в обеих направлениях.