36. Determina per quali valori di $$ k $$ la retta di equazio. ne $$ (2 k+3) x-\left(k^{2}+5 k\right) y-k^{2}+3 k=0 $$ : a. è parallela all'asse $$ x $$; b. è parallela all'asse $$ y $$; c. passa per l'origine. $$ \quad $$ a. $$ k=-\frac{3}{2} ; $$ b. $$ k=-5 \vee k=0 ; $$ c. $$ k=0 \vee k=3 $$

Question

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Verifichiamo ciascuna delle condizioni richieste per determinare i valori di $$ k $$ che soddisfano le proprietà date della retta:

L'equazione della retta è:
$$
(2k + 3)x - (k^2 + 5k)y - k^2 + 3k = 0
$$
Possiamo riscriverla nella forma implicita standard $$ Ax + By + C = 0 $$, dove:
$$
A = 2k + 3, \quad B = -(k^2 + 5k), \quad C = -k^2 + 3k
$$

### a. La retta è parallela all'asse $$ x $$

Una retta parallela all'asse $$ x $$ è orizzontale, il che implica che la sua pendenza è zero. La pendenza della retta data è:
$$
m = -\frac{A}{B} = -\frac{2k + 3}{-(k^2 + 5k)} = \frac{2k + 3}{k^2 + 5k}
$$
Per avere una pendenza pari a zero, il numeratore deve essere zero:
$$
2k + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{3}{2}
$$
**Risposta a:** $$ k = -\frac{3}{2} $$

### b. La retta è parallela all'asse $$ y $$

Una retta parallela all'asse $$ y $$ è verticale, il che implica che la sua pendenza è indefinita. Questo avviene quando il coefficiente di $$ x $$ è diverso da zero e il coefficiente di $$ y $$ è zero:
$$
B = 0 \quad \Rightarrow \quad -(k^2 + 5k) = 0 \quad \Rightarrow \quad k^2 + 5k = 0
$$
Risolvendo l'equazione quadratica:
$$
k(k + 5) = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 0 \quad \text{oppure} \quad k = -5
$$
**Risposta b:** $$ k = -5 $$ oppure $$ k = 0 $$

### c. La retta passa per l'origine

Perché la retta passi per l'origine $$(0,0)$$, bisogna che l'equazione sia soddisfatta per $$ x = 0 $$ e $$ y = 0 $$:
$$
(2k + 3)(0) - (k^2 + 5k)(0) - k^2 + 3k = 0 \quad \Rightarrow \quad -k^2 + 3k = 0
$$
Risolviamo l'equazione:
$$
k(-k + 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 0 \quad \text{oppure} \quad k = 3
$$
**Risposta c:** $$ k = 0 $$ oppure $$ k = 3 $$

### Conclusione

Le soluzioni fornite sono corrette:
- **a.** $$ k = -\frac{3}{2} $$
- **b.** $$ k = -5 $$ oppure $$ k = 0 $$
- **c.** $$ k = 0 $$ oppure $$ k = 3 $$
**Risposte:** a. $$ k = -\frac{3}{2} $$ b. $$ k = -5 $$ o $$ k = 0 $$ c. $$ k = 0 $$ o $$ k = 3 $$

36. Determina per quali valori di \( k \) la retta di equazio. ne \( (2 k+3) x-\left(k^{2}+5 k\right) y-k^{2}+3 k=0 \) : a. è parallela all'asse \( x \); b. è parallela all'asse \( y \); c. passa per l'origine. \( \quad \) a. \( k=-\frac{3}{2} ; \) b. \( k=-5 \vee k=0 ; \) c. \( k=0 \vee k=3 \)

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