36. Determina per quali valori di \( k \) la retta di equazio. ne \( (2 k+3) x-\left(k^{2}+5 k\right) y-k^{2}+3 k=0 \) : a. è parallela all'asse \( x \); b. è parallela all'asse \( y \); c. passa per l'origine. \( \quad \) a. \( k=-\frac{3}{2} ; \) b. \( k=-5 \vee k=0 ; \) c. \( k=0 \vee k=3 \)

Verifichiamo ciascuna delle condizioni richieste per determinare i valori di \( k \) che soddisfano le proprietà date della retta: L'equazione della retta è: \[ (2k + 3)x - (k^2 + 5k)y - k^2 + 3k = 0 \] Possiamo riscriverla nella forma implicita standard \( Ax + By + C = 0 \), dove: \[ A = 2k + 3, \quad B = -(k^2 + 5k), \quad C = -k^2 + 3k \] ### a. La retta è parallela all'asse \( x \) Una retta parallela all'asse \( x \) è orizzontale, il che implica che la sua pendenza è zero. La pendenza della retta data è: \[ m = -\frac{A}{B} = -\frac{2k + 3}{-(k^2 + 5k)} = \frac{2k + 3}{k^2 + 5k} \] Per avere una pendenza pari a zero, il numeratore deve essere zero: \[ 2k + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{3}{2} \] **Risposta a:** \( k = -\frac{3}{2} \) ### b. La retta è parallela all'asse \( y \) Una retta parallela all'asse \( y \) è verticale, il che implica che la sua pendenza è indefinita. Questo avviene quando il coefficiente di \( x \) è diverso da zero e il coefficiente di \( y \) è zero: \[ B = 0 \quad \Rightarrow \quad -(k^2 + 5k) = 0 \quad \Rightarrow \quad k^2 + 5k = 0 \] Risolvendo l'equazione quadratica: \[ k(k + 5) = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 0 \quad \text{oppure} \quad k = -5 \] **Risposta b:** \( k = -5 \) oppure \( k = 0 \) ### c. La retta passa per l'origine Perché la retta passi per l'origine \((0,0)\), bisogna che l'equazione sia soddisfatta per \( x = 0 \) e \( y = 0 \): \[ (2k + 3)(0) - (k^2 + 5k)(0) - k^2 + 3k = 0 \quad \Rightarrow \quad -k^2 + 3k = 0 \] Risolviamo l'equazione: \[ k(-k + 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 0 \quad \text{oppure} \quad k = 3 \] **Risposta c:** \( k = 0 \) oppure \( k = 3 \) ### Conclusione Le soluzioni fornite sono corrette: - **a.** \( k = -\frac{3}{2} \) - **b.** \( k = -5 \) oppure \( k = 0 \) - **c.** \( k = 0 \) oppure \( k = 3 \)