El volumen del solido cuya base es la región limitada por \( y=x^{2} \) y \( y=8 x \) ysus secciones transversales perpendiculares al eje \( x \) son triángulos rectángulos isósceles con un lado sobre la base es:

Para determinar el volumen del sólido, primero identificamos la región limitada por \( y = x^2 \) y \( y = 8x \). Igualando ambas funciones, encontramos sus puntos de intersección al resolver \( x^2 = 8x \), lo que nos lleva a \( x(x - 8) = 0 \). Así, \( x = 0 \) y \( x = 8 \) son los límites de integración. La altura de los triángulos isósceles en función de \( x \) sería \( h = 8x - x^2 \), y el área de la base de cada triángulo es \( A = \frac{1}{2} h^2 \). Finalmente, el volumen se calcula integrando el área a lo largo del intervalo \([0, 8]\): \[ V = \int_{0}^{8} \frac{1}{2} (8x - x^2)^2 \, dx. \] Una vez resuelto, se obtiene el volumen total del sólido. ¡Hablemos de la geometría de los triángulos! Los triángulos isósceles son fascinantes porque mantienen dos lados iguales, y en esta situación, se integran maravillosamente con las funciones cuadráticas y lineales. Además, los triángulos son fundamentales en muchas construcciones naturales y artificiales, haciéndolos una forma muy práctica y fuerte en arquitectura y diseño. ¡Es como si el sólido no solo tuviera volumen, sino también una historia geométrica increíble detrás!