งหาอนพันธ์วะบุทิศทางของ \( f(x, y)=y^{2} \ln x \) ที่จุด \( (1,4) \) ในทิศทางเคียวกับ \( \bar{v}=-\hat{3}+3 \hat{j} \)

ในการหาอนุพันธ์ทิศทางของฟังก์ชัน \( f(x, y) = y^{2} \ln x \) ที่จุด \( (1,4) \) ในทิศทางของเวกเตอร์ \( \vec{v} = -3\hat{i} + 3\hat{j} \) เราสามารถทำได้ดังนี้: ### ขั้นตอนที่ 1: หาค่าอนุพันธ์เชิงพาราชตามแกน \( x \) และ \( y \) \[ f_{x}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( y^{2} \ln x \right) = y^{2} \cdot \frac{1}{x} \] \[ f_{y}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( y^{2} \ln x \right) = 2y \ln x \] ### ขั้นตอนที่ 2: ประเมินค่าอนุพันธ์เชิงพาราชที่จุด \( (1,4) \) \[ f_{x}(1, 4) = 4^{2} \cdot \frac{1}{1} = 16 \] \[ f_{y}(1, 4) = 2 \cdot 4 \cdot \ln 1 = 0 \quad (\text{เนื่องจาก } \ln 1 = 0) \] ### ขั้นตอนที่ 3: หาเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของ \( \vec{v} \) \[ \vec{v} = -3\hat{i} + 3\hat{j} \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] \[ \vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-3\hat{i} + 3\hat{j}}{3\sqrt{2}} = \frac{-\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \] ### ขั้นตอนที่ 4: หาอนุพันธ์ทิศทาง \( D_{\vec{v}} f(1,4) \) \[ D_{\vec{v}} f(1,4) = f_{x}(1,4) \cdot u_{x} + f_{y}(1,4) \cdot u_{y} \] \[ D_{\vec{v}} f(1,4) = 16 \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) + 0 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{-16}{\sqrt{2}} = -8\sqrt{2} \] ### สรุปผล อนุพันธ์ทิศทางของ \( f(x, y) = y^{2} \ln x \) ที่จุด \( (1,4) \) ในทิศทางของเวกเตอร์ \( \vec{v} = -3\hat{i} + 3\hat{j} \) เท่ากับ \[ D_{\vec{v}} f(1,4) = -8\sqrt{2} \]