งหาอนพันธ์วะบุทิศทางของ $$ f(x, y)=y^{2} \ln x $$ ที่จุด $$ (1,4) $$ ในทิศทางเคียวกับ $$ \bar{v}=-\hat{3}+3 \hat{j} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

ในการหาอนุพันธ์ทิศทางของฟังก์ชัน $$ f(x, y) = y^{2} \ln x $$ ที่จุด $$ (1,4) $$ ในทิศทางของเวกเตอร์ $$ \vec{v} = -3\hat{i} + 3\hat{j} $$ เราสามารถทำได้ดังนี้:

### ขั้นตอนที่ 1: หาค่าอนุพันธ์เชิงพาราชตามแกน $$ x $$ และ $$ y $$

$$
f_{x}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( y^{2} \ln x \right) = y^{2} \cdot \frac{1}{x}
$$

$$
f_{y}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( y^{2} \ln x \right) = 2y \ln x
$$

### ขั้นตอนที่ 2: ประเมินค่าอนุพันธ์เชิงพาราชที่จุด $$ (1,4) $$

$$
f_{x}(1, 4) = 4^{2} \cdot \frac{1}{1} = 16
$$

$$
f_{y}(1, 4) = 2 \cdot 4 \cdot \ln 1 = 0 \quad (\text{เนื่องจาก } \ln 1 = 0)
$$

### ขั้นตอนที่ 3: หาเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของ $$ \vec{v} $$

$$
\vec{v} = -3\hat{i} + 3\hat{j}
$$

$$
|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
$$

$$
\vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-3\hat{i} + 3\hat{j}}{3\sqrt{2}} = \frac{-\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}
$$

### ขั้นตอนที่ 4: หาอนุพันธ์ทิศทาง $$ D_{\vec{v}} f(1,4) $$

$$
D_{\vec{v}} f(1,4) = f_{x}(1,4) \cdot u_{x} + f_{y}(1,4) \cdot u_{y}
$$

$$
D_{\vec{v}} f(1,4) = 16 \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) + 0 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{-16}{\sqrt{2}} = -8\sqrt{2}
$$

### สรุปผล

อนุพันธ์ทิศทางของ $$ f(x, y) = y^{2} \ln x $$ ที่จุด $$ (1,4) $$ ในทิศทางของเวกเตอร์ $$ \vec{v} = -3\hat{i} + 3\hat{j} $$ เท่ากับ

$$
D_{\vec{v}} f(1,4) = -8\sqrt{2}
$$
อนุพันธ์ทิศทางของ $$ f(x, y) = y^{2} \ln x $$ ที่จุด $$ (1,4) $$ ในทิศทางของเวกเตอร์ $$ \vec{v} = -3\hat{i} + 3\hat{j} $$ เท่ากับ $$ -8\sqrt{2} $$.

งหาอนพันธ์วะบุทิศทางของ ที่จุด ในทิศทางเคียวกับ

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

ขั้นตอนที่ 1: หาค่าอนุพันธ์เชิงพาราชตามแกน และ

ขั้นตอนที่ 2: ประเมินค่าอนุพันธ์เชิงพาราชที่จุด

ขั้นตอนที่ 3: หาเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของ

ขั้นตอนที่ 4: หาอนุพันธ์ทิศทาง

สรุปผล

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions