3. Encuentre el valor de $$ k $$ tal que el resto de la división $$ p(x)=x^{2}-k x+ $$ entre $$ q(x)=x+3 $$ sea $$ R(x)=5 $$.

Question

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Para encontrar el valor de $$ k $$ tal que el resto de la división de $$ p(x) = x^{2} - kx $$ entre $$ q(x) = x + 3 $$ sea $$ R(x) = 5 $$, utilizamos el **Teorema del Residuo**. Este teorema nos indica que el residuo de la división de un polinomio $$ p(x) $$ entre un binomio de la forma $$ x - a $$ es igual a $$ p(a) $$.

En este caso, $$ q(x) = x + 3 $$ se puede reescribir como $$ x - (-3) $$. Por lo tanto, evaluamos $$ p(x) $$ en $$ x = -3 $$:

$$
p(-3) = (-3)^{2} - k(-3) = 9 + 3k
$$

Dado que el residuo $$ R(x) = 5 $$, establecemos la ecuación:

$$
9 + 3k = 5
$$

Resolviendo para $$ k $$:

$$
3k = 5 - 9 \
3k = -4 \
k = \frac{-4}{3}
$$

**Respuesta:** El valor de $$ k $$ es $$ -\dfrac{4}{3} $$.
El valor de $$ k $$ es $$ -\dfrac{4}{3} $$.

3. Encuentre el valor de \( k \) tal que el resto de la división \( p(x)=x^{2}-k x+ \) entre \( q(x)=x+3 \) sea \( R(x)=5 \).

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