32 Ricava l'equazione della retta che corrisponde alla retta passante per \( A(3 ; 1) \) e \( B(-1 ;-5) \) nella traslazion di equazioni: \( \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x-2 \\ y^{\prime}=y+1\end{array}\right. \) 2. Traslazior \( \{3 x-2 y+1=0 \)

Per trovare l'equazione della retta che passa per i punti \( A(3, 1) \) e \( B(-1, -5) \) dopo una traslazione definita da: \[ \begin{cases} x' = x - 2 \\ y' = y + 1 \end{cases} \] procediamo nel seguente modo: ### 1. Determinare l'equazione originale della retta AB Prima calcoliamo il coefficiente angolare \( m \): \[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-5 - 1}{-1 - 3} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} \] Usando il punto \( A(3, 1) \), l'equazione della retta in forma puntuale è: \[ y - 1 = \frac{3}{2}(x - 3) \] Semplificando: \[ y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} + 1 \\ y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{2} \] In forma implicita: \[ 3x - 2y - 7 = 0 \] ### 2. Applicare la traslazione all'equazione originale La traslazione data è: \[ \begin{cases} x' = x - 2 \Rightarrow x = x' + 2 \\ y' = y + 1 \Rightarrow y = y' - 1 \end{cases} \] Sostituiamo \( x \) e \( y \) nell'equazione originale: \[ 3(x' + 2) - 2(y' - 1) - 7 = 0 \] Espandendo: \[ 3x' + 6 - 2y' + 2 - 7 = 0 \\ 3x' - 2y' + 1 = 0 \] ### 3. Risultato finale L'equazione della retta traslata, espressa nelle nuove coordinate \( (x', y') \), è: \[ 3x' - 2y' + 1 = 0 \] **Quindi, l'equazione della retta traslata è:** \[ 3x' - 2y' + 1 = 0 \]