In un tubo di raggio \( 5,0 \mathrm{~cm} \) scorre dell'acqua alla velocità di \( 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). All'uscita c'è un ugello di raggio \( 2,5 \mathrm{~cm} \). Con quale velocità l'acqua attraversa l'ugello? Calcola, trascurando l'attrito, a quale distanza dall'u- gello cadrà l'acqua se l'idrante è tenuto orizzontalmen- te a \( 1,0 \mathrm{~m} \) dal suolo.

Per risolvere il problema, analizziamo le due parti separatamente. ### **1. Velocità dell'acqua nell'ugello** Utilizziamo il principio di continuità per i fluidi incomprimibili, che afferma che il flusso volumetrico deve rimanere costante lungo il tubo: \[ A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \] dove: - \( A_1 = \pi r_1^2 \) - \( A_2 = \pi r_2^2 \) - \( v_1 = 1,5 \ \mathrm{m/s} \) - \( r_1 = 5,0 \ \mathrm{cm} = 0,05 \ \mathrm{m} \) - \( r_2 = 2,5 \ \mathrm{cm} = 0,025 \ \mathrm{m} \) Calcoliamo i rapporti delle aree: \[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{(0,05)^2}{(0,025)^2} = \frac{0,0025}{0,000625} = 4 \] Quindi la velocità nell'ugello è: \[ v_2 = \frac{A_1}{A_2} \cdot v_1 = 4 \cdot 1,5 \ \mathrm{m/s} = 6 \ \mathrm{m/s} \] ### **2. Distanza orizzontale di caduta dell'acqua** L'acqua esce dall'ugello con una velocità orizzontale \( v_x = 6 \ \mathrm{m/s} \) e ha una velocità verticale iniziale \( v_y = 0 \). La distanza orizzontale \( x \) viene determinata dal tempo di caduta \( t \), che si calcola considerando il moto verticalmente sotto l'influenza della gravità. L'altezza di caduta è \( h = 1,0 \ \mathrm{m} \). Utilizziamo la formula del moto uniformemente accelerato: \[ h = \frac{1}{2} g t^2 \] dove \( g = 9,81 \ \mathrm{m/s^2} \). Risolviamo per \( t \): \[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,0}{9,81}} \approx 0,452 \ \mathrm{s} \] La distanza orizzontale è quindi: \[ x = v_x \cdot t = 6 \ \mathrm{m/s} \cdot 0,452 \ \mathrm{s} \approx 2,71 \ \mathrm{m} \] ### **Risultato Finale** - **Velocità nell’ugello**: 6 m/s - **Distanza orizzontale di caduta**: circa 2,7 metri