Answer
Las igualdades \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\), \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\), y \((A + B)(A - B) = A^2 - B^2\) no se cumplen para las matrices \(A\) y \(B\) dadas.
Solution
Claro, vamos a **comprobar las relaciones matriciales** dadas para las matrices:
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
\]
### Parte a) \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)
**Paso 1: Calcular \(A + B\)**
\[
A + B = \begin{pmatrix} 1 + 2 & 2 + (-1) \\ 3 + 1 & 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}
\]
**Paso 2: Calcular \((A + B)^2\)**
\[
(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}
\]
Multiplicamos las matrices:
\[
\begin{pmatrix}
3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \\
4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 + 4 & 3 + 3 \\ 12 + 12 & 4 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix}
\]
**Paso 3: Calcular \(A^2\), \(B^2\) y \(2AB\)**
1. **Calcular \(A^2 = A \cdot A\)**
\[
A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}
\]
2. **Calcular \(B^2 = B \cdot B\)**
\[
B^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
\]
3. **Calcular \(AB\)**
\[
AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
4. **Calcular \(2AB\)**
\[
2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix}
\]
**Paso 4: Sumar \(A^2 + 2AB + B^2\)**
\[
A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
\]
Sumamos elemento a elemento:
\[
\begin{pmatrix} 7 + 8 + 3 & 2 + 10 + (-5) \\ 3 + 12 + 5 & 6 + (-6) + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix}
\]
**Comparación:**
\[
(A + B)^2 = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix} \neq A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix}
\]
**Conclusión:** La igualdad no se cumple.
### Parte b) \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\)
**Paso 1: Calcular \(A - B\)**
\[
A - B = \begin{pmatrix} 1 - 2 & 2 - (-1) \\ 3 - 1 & 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
\]
**Paso 2: Calcular \((A - B)^2\)**
\[
(A - B)^2 = (A - B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
\]
Multiplicamos las matrices:
\[
\begin{pmatrix}
(-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \\
2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 6 & -3 -9 \\ -2 -6 & 6 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix}
\]
**Paso 3: Calcular \(A^2 - 2AB + B^2\)**
Ya calculamos previamente:
\[
A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad 2AB = \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix}, \quad B^2 = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
\]
Ahora restamos:
\[
A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
\]
Realizamos la resta y suma elemento a elemento:
\[
\begin{pmatrix} 7 - 8 + 3 & 2 - 10 + (-5) \\ 3 - 12 + 5 & 6 - (-6) + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix}
\]
**Comparación:**
\[
(A - B)^2 = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix} \neq A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix}
\]
**Conclusión:** La igualdad no se cumple.
### Parte c) \((A + B)(A - B) = A^2 - B^2\)
**Paso 1: Calcular \((A + B)(A - B)\)**
Ya tenemos:
\[
A + B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad A - B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
\]
Multiplicamos las matrices:
\[
(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \\ 4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \end{pmatrix}
\]
\[
= \begin{pmatrix} -3 + 2 & 9 - 3 \\ -4 + 6 & 12 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
\]
**Paso 2: Calcular \(A^2 - B^2\)**
Ya tenemos:
\[
A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad B^2 = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
\]
Restamos elemento a elemento:
\[
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 - 3 & 2 - (-5) \\ 3 - 5 & 6 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}
\]
**Comparación:**
\[
(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \neq A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}
\]
**Conclusión:** La igualdad no se cumple.
### **Resumen de Resultados**
- **a)** \((A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2\)
- **b)** \((A - B)^2 \neq A^2 - 2AB + B^2\)
- **c)** \((A + B)(A - B) \neq A^2 - B^2\)
**Observación:** Estas igualdades no se cumplen en general para matrices, a menos que las matrices involucradas conmutan (es decir, \(AB = BA\)). En este caso, como \(AB \neq BA\), las igualdades no se verifican.
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