Comprosar las marrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array} ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array} ight) $$ que; a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

Question

Comprosar las marrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array}ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array}ight) $$ que; a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

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Claro, vamos a **comprobar las relaciones matriciales** dadas para las matrices:

$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix}
$$

### Parte a) $$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$$

**Paso 1: Calcular $$A + B$$**

$$
A + B = \begin{pmatrix} 1 + 2 & 2 + (-1) \ 3 + 1 & 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$(A + B)^2$$**

$$
(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix}
$$

Multiplicamos las matrices:

$$
\begin{pmatrix}
3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \
4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 + 4 & 3 + 3 \ 12 + 12 & 4 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \ 24 & 13 \end{pmatrix}
$$

**Paso 3: Calcular $$A^2$$, $$B^2$$ y $$2AB$$**

1. **Calcular $$A^2 = A \cdot A$$**

$$
A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \ 3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix}
$$

2. **Calcular $$B^2 = B \cdot B$$**

$$
B^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

3. **Calcular $$AB$$**

$$
AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \ 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \ 6 & -3 \end{pmatrix}
$$

4. **Calcular $$2AB$$**

$$
2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \ 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix}
$$

**Paso 4: Sumar $$A^2 + 2AB + B^2$$**

$$
A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

Sumamos elemento a elemento:

$$
\begin{pmatrix} 7 + 8 + 3 & 2 + 10 + (-5) \ 3 + 12 + 5 & 6 + (-6) + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \ 20 & 8 \end{pmatrix}
$$

**Comparación:**

$$
(A + B)^2 = \begin{pmatrix} 13 & 6 \ 24 & 13 \end{pmatrix} \neq A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 18 & 7 \ 20 & 8 \end{pmatrix}
$$

**Conclusión:** La igualdad no se cumple.

### Parte b) $$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$$

**Paso 1: Calcular $$A - B$$**

$$
A - B = \begin{pmatrix} 1 - 2 & 2 - (-1) \ 3 - 1 & 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$(A - B)^2$$**

$$
(A - B)^2 = (A - B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix}
$$

Multiplicamos las matrices:

$$
\begin{pmatrix}
(-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \
2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 6 & -3 -9 \ -2 -6 & 6 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \ -8 & 15 \end{pmatrix}
$$

**Paso 3: Calcular $$A^2 - 2AB + B^2$$**

Ya calculamos previamente:

$$
A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad 2AB = \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix}, \quad B^2 = \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

Ahora restamos:

$$
A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

Realizamos la resta y suma elemento a elemento:

$$
\begin{pmatrix} 7 - 8 + 3 & 2 - 10 + (-5) \ 3 - 12 + 5 & 6 - (-6) + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \ -4 & 20 \end{pmatrix}
$$

**Comparación:**

$$
(A - B)^2 = \begin{pmatrix} 7 & -12 \ -8 & 15 \end{pmatrix} \neq A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 2 & -13 \ -4 & 20 \end{pmatrix}
$$

**Conclusión:** La igualdad no se cumple.

### Parte c) $$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$$

**Paso 1: Calcular $$(A + B)(A - B)$$**

Ya tenemos:

$$
A + B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad A - B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix}
$$

Multiplicamos las matrices:

$$
(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \ 4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \end{pmatrix}
$$

$$
= \begin{pmatrix} -3 + 2 & 9 - 3 \ -4 + 6 & 12 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \ 2 & 3 \end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$A^2 - B^2$$**

Ya tenemos:

$$
A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad B^2 = \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix}
$$

Restamos elemento a elemento:

$$
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 - 3 & 2 - (-5) \ 3 - 5 & 6 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \ -2 & -2 \end{pmatrix}
$$

**Comparación:**

$$
(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 6 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \neq A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 7 \ -2 & -2 \end{pmatrix}
$$

**Conclusión:** La igualdad no se cumple.

### **Resumen de Resultados**

- **a)** $$(A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$$
- **b)** $$(A - B)^2 \neq A^2 - 2AB + B^2$$
- **c)** $$(A + B)(A - B) \neq A^2 - B^2$$

**Observación:** Estas igualdades no se cumplen en general para matrices, a menos que las matrices involucradas conmutan (es decir, $$AB = BA$$). En este caso, como $$AB \neq BA$$, las igualdades no se verifican.
Las igualdades $$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$$, $$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$$, y $$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$$ no se cumplen para las matrices $$A$$ y $$B$$ dadas.

Comprosar las marrices: \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 0\end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) que; a) \( (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} \) b) \( (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} \) c) \( (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} \)

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