a) [10 p] Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y clasifiquelos de acuerdo a sus soluciones. En caso que corresponda, dé la solución general y una solución particular. i) \( \left\{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{2}+5 x_{3}-2 x_{4}=3\end{array}\right. \) ii) \( \left\{\begin{array}{l}x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-2 x_{3}+1=0 \\ x_{1}-x_{3}=0\end{array}\right. \)

Para resolver los sistemas de ecuaciones que has presentado, podemos hacerlo utilizando métodos como eliminación, sustitución o usando matrices. Veamos cada uno: i) El sistema es: \[ \left\{ \begin{array}{l} x_{1}-2 x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{2}+5 x_{3}-2 x_{4}=3 \end{array} \right. \] Podemos expresar las variables en términos de \(x_3\) y \(x_4\): 1. De la primera ecuación, despejamos \(x_1\): \[ x_1 = 2x_3 - x_4 \] 2. De la segunda ecuación, despejamos \(x_2\): \[ x_2 = 3 - 5x_3 + 2x_4 \] Por lo tanto, el sistema tiene dos variables libres (\(x_3\) y \(x_4\)), lo que implica que tiene infinitas soluciones. La solución general es: \[ (x_1, x_2, x_3, x_4) = (2x_3 - x_4, 3 - 5x_3 + 2x_4, x_3, x_4) \] ii) El sistema es: \[ \left\{ \begin{array}{l} x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-2 x_{3}+1=0 \\ x_{1}-x_{3}=0 \end{array} \right. \] Desarrollemos el sistema: 1. De la tercera ecuación, despejamos \(x_1\): \[ x_1 = x_3 \] 2. Sustituyendo en la segunda ecuación: \[ x_3 - 2x_3 + 1 = 0 \implies -x_3 + 1 = 0 \implies x_3 = 1 \implies x_1 = 1 \] 3. Usando \(x_3\) en la primera ecuación: \[ x_2 + 1 = 2 \implies x_2 = 1 \] Entonces, tenemos la solución particular: \((x_1, x_2, x_3) = (1, 1, 1)\). En resumen, el primer sistema tiene infinitas soluciones, mientras que el segundo sistema tiene una única solución.