\begin{tabular}{l} 1. Seja \( f \) a função definida por: \\ 1.1. Escreve a funçāo \( f \) na forma \( f(x)=a(x-h)^{2}+k \). \\ 1.2. Constrói uma tabela de variação da função \( f \) e indica os intervalos de monotonia da \\ função. \\ 1. \( x x^{2}-8 x-2 \) \\ \hline\end{tabular}

Claro! Vamos resolver cada parte do problema passo a passo. ### 1.1. Escreve a função \( f \) na forma \( f(x) = a(x - h)^{2} + k \). Para escrever a função quadrática na forma de vértice \( f(x) = a(x - h)^{2} + k \), devemos completar o quadrado. **Passos para completar o quadrado:** A função dada é: \[ f(x) = x^{2} - 8x - 2 \] 1. **Isolar os termos quadráticos e lineares:** \[ f(x) = x^{2} - 8x - 2 \] 2. **Completando o quadrado:** - Coeficiente de \( x \): -8 - Metade do coeficiente de \( x \): \( \frac{-8}{2} = -4 \) - Quadrado de metade do coeficiente: \( (-4)^{2} = 16 \) 3. **Adicionar e subtrair esse quadrado dentro da função:** \[ f(x) = (x^{2} - 8x + 16) - 16 - 2 \] \[ f(x) = (x - 4)^{2} - 18 \] **Forma concluída:** \[ f(x) = 1 \cdot (x - 4)^{2} - 18 \] Portanto, a função na forma \( f(x) = a(x - h)^{2} + k \) é: \[ f(x) = (x - 4)^{2} - 18 \] Onde: - \( a = 1 \) - \( h = 4 \) - \( k = -18 \) ### 1.2. Constrói uma tabela de variação da função \( f \) e indica os intervalos de monotonia da função. **Análise da função quadrática:** A função \( f(x) = x^{2} - 8x - 2 \) é uma parábola com concavidade para cima (já que \( a = 1 > 0 \)). O vértice da parábola ocorre no ponto \( (h, k) = (4, -18) \). **Intervalos de monotonia:** - **Decrescente** em \( (-\infty, 4) \) - **Crescente** em \( (4, +\infty) \) **Tabela de Variação:** | \( x \) | \( -\infty \) | | \( 4 \) | | \( +\infty \) | |----------------|---------------|-----------|-------------------|-----------|---------------| | \( f'(x) \) | | - | 0 | + | | | **\( f(x) \)** | | ↓ | **-18** | ↑ | | | **Monotonia** | \(-\infty, 4\) | Decrescente | | Crescente | \(4, +\infty\) | **Descrição:** - **Para \( x < 4 \):** A função está **decrescente**. - **No ponto \( x = 4 \):** A função alcança o **mínimo** de \( f(4) = -18 \). - **Para \( x > 4 \):** A função está **crescente**. **Gráfico Resumido:** A parábola tem seu vértice no ponto \( (4, -18) \) e abre para cima. Assim, ao se mover de \( x = -\infty \) até \( x = 4 \), a função diminui até atingir o mínimo, e a partir de \( x = 4 \) em diante, a função começa a aumentar. ### Resumo: - **Forma da função:** \( f(x) = (x - 4)^{2} - 18 \) - **Intervalos de Monotonia:** - **Decrescente:** \( (-\infty, 4) \) - **Crescente:** \( (4, +\infty) \) - **Mínimo da função:** \( f(4) = -18 \)