Uzasadnij, że dla każdego kąta ostrego $$ \alpha $$ zachodzi równośç. $$ (\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha+1)(1-\sin \alpha)=\cos ^{2} \alpha $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Aby uzasadnić równość

$$
(\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha + 1)(1 - \sin \alpha) = \cos^2 \alpha,
$$

rozpoczniemy od przekształcenia lewej strony równania.

1. **Zdefiniujmy tangens**: 
   $$
   \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.
   $$
   Zatem możemy zapisać:
   $$
   \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha.
   $$

2. **Podstawmy do równania**:
   $$
   (\sin \alpha + 1)(1 - \sin \alpha).
   $$

3. **Rozwińmy lewą stronę**:
   $$
   (\sin \alpha + 1)(1 - \sin \alpha) = \sin \alpha \cdot (1 - \sin \alpha) + 1 \cdot (1 - \sin \alpha).
   $$
   Rozwijając to, otrzymujemy:
   $$
   \sin \alpha - \sin^2 \alpha + 1 - \sin \alpha = 1 - \sin^2 \alpha.
   $$

4. **Zastosujmy tożsamość trygonometryczną**:
   Znamy tożsamość:
   $$
   1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha.
   $$

5. **Podsumowanie**:
   Zatem lewa strona równania przekształca się do:
   $$
   1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha.
   $$

W ten sposób udowodniliśmy, że dla każdego kąta ostrego $$ \alpha $$ zachodzi równość:
$$
(\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha + 1)(1 - \sin \alpha) = \cos^2 \alpha.
$$
Dla każdego kąta ostrego $$ \alpha $$ zachodzi równość: $$ (\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha + 1)(1 - \sin \alpha) = \cos^2 \alpha. $$

Uzasadnij, że dla każdego kąta ostrego zachodzi równośç.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Trigonometry Questions