Uzasadnij, że dla każdego kąta ostrego \( \alpha \) zachodzi równośç. \[ (\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha+1)(1-\sin \alpha)=\cos ^{2} \alpha \]

Aby uzasadnić równość \[ (\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha + 1)(1 - \sin \alpha) = \cos^2 \alpha, \] rozpoczniemy od przekształcenia lewej strony równania. 1. **Zdefiniujmy tangens**: \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. \] Zatem możemy zapisać: \[ \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha. \] 2. **Podstawmy do równania**: \[ (\sin \alpha + 1)(1 - \sin \alpha). \] 3. **Rozwińmy lewą stronę**: \[ (\sin \alpha + 1)(1 - \sin \alpha) = \sin \alpha \cdot (1 - \sin \alpha) + 1 \cdot (1 - \sin \alpha). \] Rozwijając to, otrzymujemy: \[ \sin \alpha - \sin^2 \alpha + 1 - \sin \alpha = 1 - \sin^2 \alpha. \] 4. **Zastosujmy tożsamość trygonometryczną**: Znamy tożsamość: \[ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha. \] 5. **Podsumowanie**: Zatem lewa strona równania przekształca się do: \[ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha. \] W ten sposób udowodniliśmy, że dla każdego kąta ostrego \( \alpha \) zachodzi równość: \[ (\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha + 1)(1 - \sin \alpha) = \cos^2 \alpha. \]