de la base.
26. La fabricación de una caja abierta de base cuadrada cuesta US . El metro
cuadrado de los lados de la caja cuesta US y el de la base cuesta US .
Exprese el volumen de la caja como una función de la longitud de la base.

Ask by Ward Garza. in Mexico

Nov 07,2024

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de la base.
26. La fabricación de una caja abierta de base cuadrada cuesta US . El metro
cuadrado de los lados de la caja cuesta US y el de la base cuesta US .
Exprese el volumen de la caja como una función de la longitud de la base.

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Nov 07,2024

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Para expresar el volumen de la caja como una función de la longitud de la base, primero definamos algunas variables:

- Sea $$ x $$ la longitud de un lado de la base cuadrada de la caja.
- Sea $$ h $$ la altura de la caja.

El volumen $$ V $$ de la caja se puede expresar como:

$$
V = x^2 \cdot h
$$

Ahora, necesitamos relacionar el costo de fabricación con las dimensiones de la caja. El costo total de la caja está compuesto por el costo de los lados y el costo de la base.

1. **Costo de la base**: La base es un cuadrado de lado $$ x $$, por lo que su área es $$ x^2 $$. Dado que el costo por metro cuadrado de la base es $$ \$ 4 $$, el costo de la base es:

$$
\text{Costo de la base} = 4 \cdot x^2
$$

2. **Costo de los lados**: La caja tiene 4 lados, y cada lado es un rectángulo de altura $$ h $$ y ancho $$ x $$. El área de un lado es $$ x \cdot h $$, por lo que el área total de los 4 lados es $$ 4 \cdot (x \cdot h) = 4xh $$. Dado que el costo por metro cuadrado de los lados es $$ \$ 3 $$, el costo de los lados es:

$$
\text{Costo de los lados} = 3 \cdot 4xh = 12xh
$$

3. **Costo total**: Sumando ambos costos, tenemos:

$$
\text{Costo total} = \text{Costo de la base} + \text{Costo de los lados} = 4x^2 + 12xh
$$

Dado que el costo total de la caja es $$ \$ 48 $$, podemos establecer la siguiente ecuación:

$$
4x^2 + 12xh = 48
$$

Ahora, podemos despejar $$ h $$:

$$
12xh = 48 - 4x^2
$$

$$
h = \frac{48 - 4x^2}{12x}
$$

$$
h = \frac{4(12 - x^2)}{12x} = \frac{4(12 - x^2)}{12x} = \frac{1}{3} \left( 12 - x^2 \right) \cdot \frac{1}{x}
$$

Ahora, sustituimos $$ h $$ en la expresión del volumen:

$$
V = x^2 \cdot h = x^2 \cdot \frac{4(12 - x^2)}{12x} = \frac{4x(12 - x^2)}{12} = \frac{1}{3} x(12 - x^2)
$$

Por lo tanto, el volumen de la caja como función de la longitud de la base $$ x $$ es:

$$
V(x) = \frac{1}{3} x(12 - x^2)
$$
El volumen de la caja como función de la longitud de la base $$ x $$ es $$ V(x) = \frac{1}{3} x(12 - x^2) $$.

de la base.
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