Answer
Le triangle MNP est isocèle en N, l'angle \( \overline{M N P} \) mesure environ 49,6 degrés, et l'aire du triangle est d'environ 30,8 unités carrées.
Solution
Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.
### a. Montrer que le triangle MNP est isocèle en N.
Pour montrer que le triangle MNP est isocèle en N, nous devons prouver que les longueurs des segments \( \overline{MN} \) et \( \overline{NP} \) sont égales.
1. **Calculons la distance \( MN \)** :
\[
MN = \sqrt{(x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2 + (z_M - z_N)^2}
\]
où \( M(3, -4, -2) \) et \( N(-1, 3, 2) \).
\[
MN = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-4 - 3)^2 + (-2 - 2)^2}
\]
\[
= \sqrt{(3 + 1)^2 + (-4 - 3)^2 + (-2 - 2)^2}
\]
\[
= \sqrt{(4)^2 + (-7)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9
\]
2. **Calculons la distance \( NP \)** :
\[
NP = \sqrt{(x_N - x_P)^2 + (y_N - y_P)^2 + (z_N - z_P)^2}
\]
où \( N(-1, 3, 2) \) et \( P(7, -1, 3) \).
\[
NP = \sqrt{(-1 - 7)^2 + (3 - (-1))^2 + (2 - 3)^2}
\]
\[
= \sqrt{(-8)^2 + (3 + 1)^2 + (-1)^2}
\]
\[
= \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9
\]
3. **Conclusion** :
Puisque \( MN = NP = 9 \), le triangle MNP est isocèle en N.
### b. Calculer la mesure, au dixième de degré près, de l'angle \( \overline{M N P} \).
Pour calculer l'angle \( \overline{M N P} \), nous utiliserons la formule du cosinus :
\[
\cos(\theta) = \frac{MN^2 + NP^2 - MP^2}{2 \cdot MN \cdot NP}
\]
1. **Calculons la distance \( MP \)** :
\[
MP = \sqrt{(x_M - x_P)^2 + (y_M - y_P)^2 + (z_M - z_P)^2}
\]
\[
= \sqrt{(3 - 7)^2 + (-4 - (-1))^2 + (-2 - 3)^2}
\]
\[
= \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (-5)^2}
\]
\[
= \sqrt{16 + 16 + 25} = \sqrt{57}
\]
2. **Calculons \( \cos(\theta) \)** :
\[
\cos(\theta) = \frac{9^2 + 9^2 - (\sqrt{57})^2}{2 \cdot 9 \cdot 9}
\]
\[
= \frac{81 + 81 - 57}{162} = \frac{105}{162} = \frac{35}{54}
\]
3. **Calculons \( \theta \)** :
\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{35}{54}\right)
\]
Calculons cette valeur.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(\arccos\left(\frac{35}{54}\right)\)
La mesure de l'angle \( \overline{M N P} \) est approximativement \( 0.865646 \) radians. Pour convertir cela en degrés, nous utilisons la conversion suivante :
\[
\text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}
\]
Calculons cela.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(0.865646\times \frac{180}{\pi }\)
- step1: Convert the expressions:
\(\frac{432823}{500000}\times \frac{180}{\pi }\)
- step2: Multiply the numbers:
\(\frac{3895407}{25000\pi }\)
La mesure de l'angle \( \overline{M N P} \) est approximativement \( 49.6 \) degrés, arrondie au dixième de degré près.
### c. Calculer l'aire du triangle MNP.
L'aire d'un triangle peut être calculée à l'aide de la formule :
\[
A = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NP \cdot \sin(\theta)
\]
Nous avons déjà \( MN = 9 \), \( NP = 9 \), et nous devons maintenant calculer \( \sin(\theta) \).
1. **Calculons \( \sin(\theta) \)** à partir de \( \cos(\theta) \) :
\[
\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)
\]
\[
\sin^2(\theta) = 1 - \left(\frac{35}{54}\right)^2
\]
Calculons cela.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(1-\left(\frac{35}{54}\right)^{2}\)
- step1: Rewrite the expression:
\(1-\frac{35^{2}}{54^{2}}\)
- step2: Evaluate the power:
\(1-\frac{1225}{2916}\)
- step3: Reduce fractions to a common denominator:
\(\frac{2916}{2916}-\frac{1225}{2916}\)
- step4: Transform the expression:
\(\frac{2916-1225}{2916}\)
- step5: Subtract the numbers:
\(\frac{1691}{2916}\)
Calculate or simplify the expression \( \sqrt(0.579904) \).
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(\sqrt{0.579904}\)
- step1: Rewrite the expression:
\(\sqrt{\frac{9061}{15625}}\)
- step2: Use the properties of radicals:
\(\frac{\sqrt{9061}}{\sqrt{15625}}\)
- step3: Simplify the expression:
\(\frac{\sqrt{9061}}{125}\)
Nous avons trouvé que \( \sin(\theta) \approx 0.761514 \).
2. **Calculons l'aire \( A \)** :
\[
A = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot 0.761514
\]
\[
= \frac{1}{2} \cdot 81 \cdot 0.761514
\]
\[
= 40.5 \cdot 0.761514
\]
Calculons cela.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
\(40.5\times 0.761514\)
- step1: Multiply the numbers:
\(30.841317\)
L'aire du triangle MNP est d'environ \( 30.8 \) unités carrées.
### Résumé des résultats :
- Le triangle MNP est isocèle en N.
- La mesure de l'angle \( \overline{M N P} \) est d'environ \( 49.6 \) degrés.
- L'aire du triangle MNP est d'environ \( 30.8 \) unités carrées.
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