15 M(3;-4;-2), $$ N(-1 ; 3 ; 2) $$ et $$ P(7 ;-1 ; 3 $$ ) sont des points de l'espace muni d'un repère orthonormé. a. Montrer que le triangle MNP est isocèle en $$ N $$. b. Calculer la mesure, au dixième de degré près, de l'angle $$ \overline{M N P} $$. c. Calculer l'aire du triangle MNP.

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### a. Montrer que le triangle MNP est isocèle en N.

Pour montrer que le triangle MNP est isocèle en N, nous devons prouver que les longueurs des segments $$ \overline{MN} $$ et $$ \overline{NP} $$ sont égales.

1. **Calculons la distance $$ MN $$** :
   $$
   MN = \sqrt{(x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2 + (z_M - z_N)^2}
   $$
   où $$ M(3, -4, -2) $$ et $$ N(-1, 3, 2) $$.

$$
   MN = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-4 - 3)^2 + (-2 - 2)^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-4 - 3)^2 + (-2 - 2)^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{(4)^2 + (-7)^2 + (-4)^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9
   $$

2. **Calculons la distance $$ NP $$** :
   $$
   NP = \sqrt{(x_N - x_P)^2 + (y_N - y_P)^2 + (z_N - z_P)^2}
   $$
   où $$ N(-1, 3, 2) $$ et $$ P(7, -1, 3) $$.

$$
   NP = \sqrt{(-1 - 7)^2 + (3 - (-1))^2 + (2 - 3)^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{(-8)^2 + (3 + 1)^2 + (-1)^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9
   $$

3. **Conclusion** :
   Puisque $$ MN = NP = 9 $$, le triangle MNP est isocèle en N.

### b. Calculer la mesure, au dixième de degré près, de l'angle $$ \overline{M N P} $$.

Pour calculer l'angle $$ \overline{M N P} $$, nous utiliserons la formule du cosinus :

$$
\cos(\theta) = \frac{MN^2 + NP^2 - MP^2}{2 \cdot MN \cdot NP}
$$

1. **Calculons la distance $$ MP $$** :
   $$
   MP = \sqrt{(x_M - x_P)^2 + (y_M - y_P)^2 + (z_M - z_P)^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{(3 - 7)^2 + (-4 - (-1))^2 + (-2 - 3)^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (-5)^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{16 + 16 + 25} = \sqrt{57}
   $$

2. **Calculons $$ \cos(\theta) $$** :
   $$
   \cos(\theta) = \frac{9^2 + 9^2 - (\sqrt{57})^2}{2 \cdot 9 \cdot 9}
   $$
   $$
   = \frac{81 + 81 - 57}{162} = \frac{105}{162} = \frac{35}{54}
   $$

3. **Calculons $$ \theta $$** :
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left(\frac{35}{54}\right)
   $$

Calculons cette valeur.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\arccos\left(\frac{35}{54}\right)$$
La mesure de l'angle $$ \overline{M N P} $$ est approximativement $$ 0.865646 $$ radians. Pour convertir cela en degrés, nous utilisons la conversion suivante :

$$
\text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}
$$

Calculons cela.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$0.865646\times \frac{180}{\pi }$$
- step1: Convert the expressions:
  $$\frac{432823}{500000}\times \frac{180}{\pi }$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$\frac{3895407}{25000\pi }$$
La mesure de l'angle $$ \overline{M N P} $$ est approximativement $$ 49.6 $$ degrés, arrondie au dixième de degré près.

### c. Calculer l'aire du triangle MNP.

L'aire d'un triangle peut être calculée à l'aide de la formule :

$$
A = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NP \cdot \sin(\theta)
$$

Nous avons déjà $$ MN = 9 $$, $$ NP = 9 $$, et nous devons maintenant calculer $$ \sin(\theta) $$.

1. **Calculons $$ \sin(\theta) $$** à partir de $$ \cos(\theta) $$ :
   $$
   \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)
   $$
   $$
   \sin^2(\theta) = 1 - \left(\frac{35}{54}\right)^2
   $$

Calculons cela.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$1-\left(\frac{35}{54}\right)^{2}$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$1-\frac{35^{2}}{54^{2}}$$
- step2: Evaluate the power:
  $$1-\frac{1225}{2916}$$
- step3: Reduce fractions to a common denominator:
  $$\frac{2916}{2916}-\frac{1225}{2916}$$
- step4: Transform the expression:
  $$\frac{2916-1225}{2916}$$
- step5: Subtract the numbers:
  $$\frac{1691}{2916}$$
Calculate or simplify the expression $$ \sqrt(0.579904) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\sqrt{0.579904}$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\sqrt{\frac{9061}{15625}}$$
- step2: Use the properties of radicals:
  $$\frac{\sqrt{9061}}{\sqrt{15625}}$$
- step3: Simplify the expression:
  $$\frac{\sqrt{9061}}{125}$$
Nous avons trouvé que $$ \sin(\theta) \approx 0.761514 $$.

2. **Calculons l'aire $$ A $$** :
   $$
   A = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot 0.761514
   $$
   $$
   = \frac{1}{2} \cdot 81 \cdot 0.761514
   $$
   $$
   = 40.5 \cdot 0.761514
   $$

Calculons cela.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$40.5\times 0.761514$$
- step1: Multiply the numbers:
  $$30.841317$$
L'aire du triangle MNP est d'environ $$ 30.8 $$ unités carrées.

### Résumé des résultats :
- Le triangle MNP est isocèle en N.
- La mesure de l'angle $$ \overline{M N P} $$ est d'environ $$ 49.6 $$ degrés.
- L'aire du triangle MNP est d'environ $$ 30.8 $$ unités carrées.
Le triangle MNP est isocèle en N, l'angle $$ \overline{M N P} $$ mesure environ 49,6 degrés, et l'aire du triangle est d'environ 30,8 unités carrées.

15 M(3;-4;-2), et ) sont des
points de l’espace muni d’un repère orthonormé.
a. Montrer que le triangle MNP est isocèle en .
b. Calculer la mesure, au dixième de degré près, de
l’angle .
c. Calculer l’aire du triangle MNP.

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