1. Let $$ \mathcal{E} $$ be the set of all functions from $$ \mathbb{R} \backslash\{0,1\} $$ to itself, and let $$ f, g \in \mathcal{E} $$ be the functions defined as $$ f(x)=\frac{1}{1-x}, \quad g(x)=\frac{1}{x} $$ Set $$ G=\langle f, g\rangle \subseteq \mathcal{E} $$ be the group generated under (usual) composition of functions by these two functions. Show that $$ f $$ and $$ g $$ satisfy the three defining relations for $$ D_{3} $$. (As a sanity check, you first need to ask yourself: what is the "identity" function in $$ \mathcal{E} $$ ?).

Question

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1. 首先，先明確 $$\mathcal{E}$$ 的單位元為恆等函數，即  
$$
\mathrm{id}(x)=x.
$$

2. 定義的函數為
$$
f(x)=\frac{1}{1-x},\quad g(x)=\frac{1}{x}.
$$

3. 証明 $$ f^3=\mathrm{id} $$：

- 計算 $$ f(f(x)) $$：  
     令 $$ y=f(x)=\frac{1}{1-x} $$，則  
     $$
     f(f(x))= f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}
     =\frac{1}{\frac{(1-x)-1}{1-x}}
     =\frac{1}{\frac{-x}{1-x}}
     =\frac{1-x}{-x}=\frac{x-1}{x}.
     $$
     
   - 計算 $$ f(f(f(x))) $$：  
     $$
     f(f(f(x)))=f\left(\frac{x-1}{x}\right)
     =\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}
     =\frac{1}{\frac{x-(x-1)}{x}}
     =\frac{1}{\frac{1}{x}}
     =x.
     $$
     
   因此，$$ f^3(x)=x $$ 故 $$ f^3=\mathrm{id} $$。

4. 証明 $$ g^2=\mathrm{id} $$：

直接計算  
   $$
   g(g(x))=g\left(\frac{1}{x}\right)
   =\frac{1}{\frac{1}{x}}
   =x.
   $$
   
   因此 $$ g^2=\mathrm{id} $$。

5. 証明對應 $$ D_3 $$ 的第三關係，我們選取常見的呈現關係：  
   $$
   srs=f^{-1} \quad \text{或} \quad g\circ f \circ g = f^{-1}.
   $$

先求 $$ f^{-1} $$：設 $$ y=f(x)=\frac{1}{1-x} $$，解得  
   $$
   y(1-x)=1 \quad\Rightarrow\quad 1-x=\frac{1}{y}
   \quad\Rightarrow\quad x=1-\frac{1}{y}.
   $$
   
   因此有  
   $$
   f^{-1}(x)=1-\frac{1}{x}.
   $$
   
   接下來計算 $$ g\circ f \circ g(x) $$：
   
   - 首先計算 $$ g(x)=\frac{1}{x} $$，故  
     $$
     f(g(x))= f\left(\frac{1}{x}\right)
     =\frac{1}{1-\frac{1}{x}}
     =\frac{1}{\frac{x-1}{x}}
     =\frac{x}{x-1}.
     $$
     
   - 再令  
     $$
     g(f(g(x)))= g\left(\frac{x}{x-1}\right)
     =\frac{1}{\frac{x}{x-1}}
     =\frac{x-1}{x}.
     $$
     
   最後比對 $$ f^{-1}(x) $$：  
   $$
   f^{-1}(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.
   $$
   
   故有 $$ g\circ f\circ g(x)=f^{-1}(x) $$。

綜上，$$ f $$ 與 $$ g $$ 滿足 $$ D_3 $$ 定義的三個關係：
$$
f^3=\mathrm{id},\quad g^2=\mathrm{id},\quad g\circ f\circ g=f^{-1}.
$$
$$ f $$ 和 $$ g $$ 滿足 $$ D_3 $$ 的三個關係：$$ f^3 = \mathrm{id} $$, $$ g^2 = \mathrm{id} $$, 以及 $$ g \circ f \circ g = f^{-1} $$。

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