$$ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } x _ { 2 } - 2 x _ { 2 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 0 } = 0 } \ { x _ { 1 } ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } + 2 x _ { 2 } x _ { 0 } = 0 } \ { - x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = 0 } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } x _ { 2 } - 2 x _ { 2 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 0 } = 0 } \ { x _ { 1 } ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } + 2 x _ { 2 } x _ { 0 } = 0 } \ { - x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = 0 } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Il sistema di equazioni dato è:

$$
\begin{cases}
2 x_1 x_2 - 2 x_2^2 - 2 x_1 x_0 = 0 \
x_1^2 - 4 x_1 x_2 + 2 x_2 x_0 = 0 \
- x_1^2 + x_2^2 = 0
\end{cases}
$$

**Passo 1:** Dalla terza equazione $$ -x_1^2 + x_2^2 = 0 $$, possiamo dedurre che:

$$
x_2^2 = x_1^2 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \pm x_1
$$

Consideriamo due casi distinti:

**Caso 1:** $$ x_2 = x_1 $$

Sostituendo nella prima equazione:

$$
2x_1 \cdot x_1 - 2x_1^2 - 2x_1 x_0 = 0 \
2x_1^2 - 2x_1^2 - 2x_1 x_0 = -2x_1 x_0 = 0
$$

Se $$ x_1 \neq 0 $$, allora $$ x_0 = 0 $$.

Sostituendo $$ x_2 = x_1 $$ e $$ x_0 = 0 $$ nella seconda equazione:

$$
x_1^2 - 4x_1^2 + 0 = -3x_1^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0
$$

Quindi, $$ x_1 = x_2 = x_0 = 0 $$.

**Caso 2:** $$ x_2 = -x_1 $$

Sostituendo nella prima equazione:

$$
2x_1 (-x_1) - 2x_1^2 - 2x_1 x_0 = -2x_1^2 - 2x_1^2 - 2x_1 x_0 = -4x_1^2 - 2x_1 x_0 = 0
$$

Fattorizzando:

$$
-2x_1 (2x_1 + x_0) = 0
$$

Ciò implica che:

1. $$ x_1 = 0 $$ 
2. $$ 2x_1 + x_0 = 0 $$

Se $$ x_1 = 0 $$, allora $$ x_2 = 0 $$ e dalla seconda equazione otteniamo $$ 0 = 0 $$, il che conferma $$ x_0 = 0 $$.

Se $$ 2x_1 + x_0 = 0 $$, sostituendo nella seconda equazione:

$$
x_1^2 - 4x_1 (-x_1) + 2(-x_1)(-2x_1) = x_1^2 + 4x_1^2 + 4x_1^2 = 9x_1^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0
$$

Anche in questo caso, $$ x_1 = x_2 = x_0 = 0 $$.

**Conclusione:** L'unica soluzione al sistema di equazioni dato è:

$$
x_0 = 0, \quad x_1 = 0, \quad x_2 = 0
$$
Le soluzioni al sistema di equazioni sono $$ x_0 = 0 $$, $$ x_1 = 0 $$, e $$ x_2 = 0 $$.

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