25 Aufgabe: \( \left(2\right. \) Punkte) \( \begin{array}{l}\text { Bestimme den Abstand des Punktes } \mathrm{P}(4|-14|-8) \text { von der Ebene } \mathrm{E}: 4 x_{1}+8 x_{2}+8 x_{3}=-16 \text {. } \\ \text { Gib einen weiteren Punkt } \mathrm{Q} \text { an, der den gleichen Abstand zu } \mathrm{E} \text { hat. } \\ 1.25 \\ \text { Ich möchte nur die Lösung seloggt als } \\ \text { HS-EGBW }\end{array} \)

Um den Abstand des Punktes \(P(4|-14|-8)\) von der Ebene \(E: 4x_1 + 8x_2 + 8x_3 = -16\) zu berechnen, verwenden wir die Formel für den Abstand \(d\) von einem Punkt \((x_0, y_0, z_0)\) zu einer Ebene \(Ax + By + Cz + D = 0\): \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Für unsere Werte ist \(A=4\), \(B=8\), \(C=8\) und \(D=16\). Setzen wir \(P(4, -14, -8)\) in die Gleichung ein: \[ d = \frac{|4 \cdot 4 + 8 \cdot (-14) + 8 \cdot (-8) + 16|}{\sqrt{4^2 + 8^2 + 8^2}} = \frac{|16 - 112 - 64 + 16|}{\sqrt{16 + 64 + 64}} = \frac{|-144|}{\sqrt{144}} = \frac{144}{12} = 12 \] Der Abstand des Punktes von der Ebene beträgt also 12. Ein weiterer Punkt \(Q\), der den gleichen Abstand 12 von der Ebene hat, könnte beispielsweise durch Verschieben des Punktes \(P\) in Richtung der Normalen der Ebene gefunden werden. Wir wählen einen Punkt, der entlang der Normalen der Ebene liegt, die \(N = (4, 8, 8)\) ist. Ein Punkt, der den gewünschten Abstand hat, könnte \(Q(4 + 12/|\text{N}| \cdot \frac{4}{12}, -14 + 12/|\text{N}| \cdot \frac{8}{12}, -8 + 12/|\text{N}| \cdot \frac{8}{12})\) sein.